Raizes

Mostre que a equação  não possui raizes reais.

Seja a função f(x) = (1 + 4lnx)/x^4  - 3


f'(x) = (4x³ - 4x³(1 + 4lnx))/x^8

f' = 0
4x³ = 4x³(1 + 4lnx)

Podemos cancelar 4x³ porque a solução x = 0 não está no domínio da função.

1 + 4lnx = 1
4lnx = 0
lnx = 0
x = 1

Vamos descobrir o comportamento da curva em pontos anteriores a x = 1 e em pontos posteriores a x = 1.

f'(x) = (4x³ - 4x³(1 + 4lnx))/x^8

O sinal da derivada vai depender do numerador, pois o denominador é sempre positivo.


(4x³ - 4x³(1 + 4lnx)) > 0
1 + 4lnx < 1
4lnx < 0
lnx < 0
x < 1

Ou seja, a função é crescente para pontos anteriores a x = 1 e decrescente para pontos posteriores a x = 1

Então, x = 1 é um ponto de máximo.

Substituindo x = 1 em f(x):

f(1) = -2


Então a função nunca cruza o eixo das abcissas(não tem raiz real)

Oi Leo, poderia ser feito dessa maneira também?


E assim, bastaria analisar o crescimento/ decrescimento da derivada

Obrigada

Gi, acho que não mudaria muito o que eu fiz.

Ou então não entendi direito sua proposta de resolução

Não, daria na mesma.

Aliás,mme toquei agorapouco que há uma maneira mais fácil de fazer: 

A questão é originalmente para esboçar aquele gráfico, mas eu sempre acho acho as intersecções com os eixos antes. Mas, está como dica: use f'(x) = -16lnx / x^5 

Muito mais fácil analisar o crescimento e decrescimento antes, fica mais fácil ver e chega-se rapidamente na sua resposta.

Desculpe eu esquecer essa informação

Obrigada