Progressão Geométrica

por Handrix Qua 06 Jan 2010, 13:07

Boa tarde!

A soma dos 11 primeiros termos de uma progressão geométrica crescente é 99 e o terceiro termo é 4. Calcular o nono termo da progressão.

Fiz tanta conta tentando resolver e não cheguei ao resultado..

Alguém pode me ajudar?

Até mais.

por **ivomilton** Ter 12 Jan 2010, 20:30

Handrix escreveu:Boa tarde!

A soma dos 11 primeiros termos de uma progressão geométrica crescente é 99 e o terceiro termo é 4. Calcular o nono termo da progressão.

Fiz tanta conta tentando resolver e não cheguei ao resultado..

Alguém pode me ajudar?

Até mais.

Boa noite, Handrix!

S = (a1 + an)*n/2
99 = (a1 + a11)*11/2
2*99 = (a1 + a11)*11
198 = 11*(a1 + a11)
a1 + a11 = 198/11

a1 + a11 = 18
a1 + (a1 + 10.r) = 18
2.a1 + 10.r = 18

2.a1 + 10.r = 18 ....... [1]
a1 + 2.r = 4 ............. [2] → (a3)

Linha1*(-1) + Linha2*(5):

-2.a1 - 10.r = -18
5.a1 + 10.r = 20
------------------
3.a1 = 2

a1 = 2/3

a1 + 2.r = 4
2/3 + 2.r = 4 → simplificando por 2, vem...

1/3 + r = 2
r = 2 - 1/3 = 6/3 - 1/3

r = 5/3

a9 = a1 + 8.r
a9 = 2/3 + 8.(5/3) = 2/3 + 40/3 = 42/3

a9 = 14

Um abraço!

por Luck Ter 12 Jan 2010, 20:55

Olá ivomilton, eu não entendi... Sendo PG porque usar a fórmula da PA?

por **ivomilton** Ter 12 Jan 2010, 21:42

Luck escreveu:Olá ivomilton, eu não entendi... Sendo PG porque usar a fórmula da PA?

Boa noite!

Nem eu!
Sabe, eu havia lutado, dias atrás, para resolver esse problema.
Hoje, abri nele novamente e consegui... (rsrs).
Acho que foi por isso que achei ele tão fácil!!!
Desculpem-me a mancada, pois hoje eu o vi como sendo PA, quando continuava sendo sobre PG!

Um abraço.

por Viniciuscoelho Sex 15 Jan 2010, 21:01

Também tentei trabalhar com as fórmulas, mas não consegui avançar muito. Com esse insucesso, tentei trabalhar pela outra via: a força bruta. Tentar achar "a1" e "q", mediante erro e tentativa. Esse procedimento só deu certo, e, talvez, seja o único meio de resolver, pois temos a informação de que:
a) a3 = 4;
b) o somatório dos 11 primeiros elementos é = 99;
c) a precisão de no mínimo 5 casas decimais.

Mais algumas consequências lógicas:
d) Considerando que a PG é crescente, então q > 1;
e) Se a3 = 4, então a1 é ]0,4[

Considerado essas informações, o que vem, depois, é cálculo de erro e tentativa. Desse modo, encontramos:

a1 = 2,661;
q = 1,226049;

a3 = 4,000005;

Somatório até 11 = (#)
# = 98,999817; @

Logo:

a9 = 2,661 * 5,1057866;
a9 = 13,586498; @

@Obs:
Para valores mais exatos sugiro que aumente o número de precisão das decimais em "q" para obter um "a3" mais preciso.

por **Euclides** Sex 15 Jan 2010, 21:06

Muito bom Vinicius! Força bruta é um método válido. O fato é que é bem provável que essa questão não tenha solução algébrica. Não sei onde o Handrix a encontrou, mas penso que se trata de um enunciado truncado.

Parabéns.

por Viniciuscoelho Sex 15 Jan 2010, 21:23

por Euclides o Sex Jan 15 2010, 20:06
Muito bom Vinicius! Força bruta é um método válido. O fato é que é bem provável que essa questão não tenha solução algébrica. Não sei onde o Handrix a encontrou, mas penso que se trata de um enunciado truncado.

Obrigado, Euclides! Essa questão é estranha mesmo, nunca tinha trabalhado com "a1" e um "q" quebrados.

por **jota-r** Dom 17 Jan 2010, 14:22

Handrix escreveu:Boa tarde!

A soma dos 11 primeiros termos de uma progressão geométrica crescente é 99 e o terceiro termo é 4. Calcular o nono termo da progressão.

Fiz tanta conta tentando resolver e não cheguei ao resultado..

Alguém pode me ajudar?

Até mais.

Olá.

Colaboração de Kaique:

a1,a1*q,a1*q²,a1*q³,a1*q^4,a1*q^5,a1*q^6,a1*q^7,a1*q^8,a1*q^9,a1*q^10

4/q² + 4/q + 4 + 4q + 4q² + 4q³ ... + 4q^8 =

4(q^-2 + q^-1 + 1 + q + q² ... + q^6 ... + q^8) = 99

q^-2 * (1-q^11)/ (1-q) = 99/4

4q^-2 - 4q^9 = 99 -99q

4 - 4q^11 -99q² + 99q³ = 0

4q^11 -99q³ + 99q² - 4 = 0

resolvendo por métodos numéricos
q = 1,22605
e a9 = 13,5865465574435042970226950625.

Um abraço.

por Viniciuscoelho Dom 17 Jan 2010, 16:02

jota-r, não entendi a passagem de (i) para (ii), e de (ii) para (iii):

a1,a1*q,a1*q²,a1*q³,a1*q^4,a1*q^5,a1*q^6,a1*q^7,a1*q^8,a1*q^9,a1*q^10 (i)

4/q² + 4/q + 4 + 4q + 4q² + 4q³ ... + 4q^8 = (ii)

4(q^-2 + q^-1 + 1 + q + q² ... + q^6 ... + q^ 8 ) = 99 (iii)

Obrigado.

por **jota-r** Dom 17 Jan 2010, 18:32

Viniciuscoelho escreveu:jota-r, não entendi a passagem de (i) para (ii), e de (ii) para (iii):

a1,a1*q,a1*q²,a1*q³,a1*q^4,a1*q^5,a1*q^6,a1*q^7,a1*q^8,a1*q^9,a1*q^10 (i)

4/q² + 4/q + 4 + 4q + 4q² + 4q³ ... + 4q^8 = (ii)

4(q^-2 + q^-1 + 1 + q + q² ... + q^6 ... + q^ 8 ) = 99 (iii)

Obrigado.

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