Valor minimo de e

por dlemos Ter 18 Dez 2012, 11:31

Sabendo que a,b,c,d e e são numeros reais tais que
a+b+c+d+e=8 E a²+b²+c²+d²+e²=16
determine o valor minimo de e:

por **Robson Jr.** Ter 18 Dez 2012, 16:40

Olhe para a segunda equação:

$\small a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 \Rightarrow e=\sqrt{16-(a^2+b^2+c^2+d^2)}$

Sendo "e" uma raiz, seu menor valor possível é zero. Mostremos que tal valor pode ser atingido:

$\small a=b=c=d=2 \Rightarrow e=\sqrt{16-4.2^2}=0$

Como os valores propostos cumprem a primeira equação, de fato a resposta é e = 0.

Obs.: Determinar o valor máximo de "e" é um problema muito mais interessante! Farei um tópico a respeito.

por dlemos Ter 18 Dez 2012, 21:42

Valeu Robson, havia pensado como voce... Very Happy

o problema é que o livro "Topicos da matematica" do José Maria e Carlos Gomes traz uma resolução diferente com outro resultado e não estou entendendo, pois eles partem do principio que 4(a²+b²+c²+d²)≥ (a+b+c+d)² e não consigo chegar a essa desigualdade.Será que você poderia dar uma olhada nisso pra mim? ou se voce tiver o livro que ja vem com a resolução deles, a questão é a 63.

por Luck Qua 19 Dez 2012, 09:23

dlemos escreveu:Valeu Robson, havia pensado como voce...
o problema é que o livro "Topicos da matematica" do José Maria e Carlos Gomes traz uma resolução diferente com outro resultado e não estou entendendo, pois eles partem do principio que 4(a²+b²+c²+d²)≥ (a+b+c+d)² e não consigo chegar a essa desigualdade.Será que você poderia dar uma olhada nisso pra mim? ou se voce tiver o livro que ja vem com a resolução deles, a questão é a 63.

O que seu livro usou foi a desigualdade de Cauchy-Schwarz

por dlemos Qua 19 Dez 2012, 10:15

mas se utilizando dessa desigualdade o resultado final da diferente... Question

sabe porque Luck?qual seria o correto no caso entao? :s

por Luck Qua 19 Dez 2012, 11:32

dlemos escreveu:mas se utilizando dessa desigualdade o resultado final da diferente...
sabe porque Luck?qual seria o correto no caso entao? :s

partindo da desigualdade achei o mesmo que o Robson... deu resultado diferente de 0? Poste a resolução do seu livro.

4(a²+b²+c²+d²)≥ (a+b+c+d)²
a² + b² + c² + d² = 16 - e²
a+b+c+d = 8 -e

4(16-e²) >= (8-e)²
64 - 4e² >= 64 - 16 e + e²
5e² - 16e =< 0
0=< e <= 16/5
logo o valor mínimo , e = 0.

por dlemos Qua 19 Dez 2012, 11:37

Kkkk agora que me toquei, o autor se confundiu e botou o valor Max ao invés do mínimo... --'' kkk por isso que não encontrava erro na solução dele, estava correta, porém ele pegou o valor errado como resposta e botou 16/5...obrigado luck e Robson! Very Happy