valor minimo

O número 2013 decomposto em fatores primos é igual a
3, 11 e 61. Considere a equação x2 – k  x + 2013 = 0 cujas raízes
são números naturais.
O menor valor possível de k é
(A) 64.
(B) 84.
(C) 94.
(D) 194.
(E) 674.

estudante2014 escreveu:O número 2013 decomposto em fatores primos é igual a
3, 11 e 61. Considere a equação x2 – k  x + 2013 = 0 cujas raízes
são números naturais.
O menor valor possível de k é
(A) 64.
(B) 84.
(C) 94.
(D) 194.
(E) 674.

Boa tarde,

x² - kx + 2013 = 0

x = [k ± Ѵ(k² - 4*2013)]/2
x = [k ± Ѵ(k² - 8052)]/2 .............. (I)


Para que as raízes sejam números naturais, será necessário que o radicando seja um quadrado perfeito; portanto, vem:
k² - 8052 = z² ......................... (II)


Donde tiramos:
k² - z² = 8052
(k+z)(k-z) = 8052

Tanto a soma como a diferença dos dois fatores resulta em um número par; veja:
k + z
k - z
------
2k

-k + z
-k + z
-------
.... 2x

Logo, teremos que procurar, dentre os divisores de 8052, um dupla que sejam pares, cujo produto perfaça 8052.
8052 = 2².3.11.61
Duplas de divisores que perfazem 8052:
1.8052
2.4026
3.2684
4.2013
6.1342
11.752
12.671
22.366
33.244
44.183
61.132
66.122

Descartando todas as duplas em que um dos fatores é ímpar, resta-nos:
1.8052
2.4026
6.1342
22.366
66.122

Como devemos ter, obviamente,
k² - 8052 > 0

Segue-se que devemos ter
k > Ѵ8052
k ≥ 90


Assim sendo, desprezaremos todos os fatores que compõem a 1ª coluna, e tomaremos o menor valor da 2ª coluna que seja maior ou igual a 90, ou seja, o 122.


Teremos, então, que utilizar o para 66.122, a saber:
k + z = 122
k – z = 66
------------
2k = 188
k = 188/2
k = 94

-k + z = 122
-k + z = -66
-------------
..... 2z = 56
....... z = 56/2
....... z = 28

Voltando à equação (II), temos:
k² - 8052 = z² 
(94)² - 8052 = (28)²
8836 - 8052 = 784

E aplicando à equação (I), fica:
x = [94 ± Ѵ(784)]/2
x = (94 ± 28)/2
x' = (94 + 28)/2 = 122/2 = 61
x" = (94 - 28)/2 = 66/2 = 33


Alternativa (C)






Um abraço.