Deformação em uma corda

por Zeis Qui 12 Set 2024, 15:16

1.Uma corda elástica que se comporta linearmente elasticamente tem um comprimento sem tensão L₀ = 760 mm e uma rigidez k = 140 N/m. a corda é presa a dois pinos, separados por uma distância b = 380 mm, e puxada em seu ponto médio por uma força P = 80N.

a) Quanta deformação U é armazenada na corda?
b) Qual é o deslocamento δ_C do ponto onde a carga é aplicada?
c) Compare a energia de deformação U com a quantidade Pδ_C/2.
Obs.: O alongamento da corda não é pequeno comparado ao seu comprimento original.

Deformação em uma corda LisLzQrHjxP2k5cAhIZRqdAAAAAElFTkSuQmCC

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por **Giovana Martins** Qui 12 Set 2024, 19:01

Há bastante tempo que eu fiz a disciplina de resistência dos materiais na faculdade, mas acho que ainda consigo resolver problemas tipo este. Veja se você concorda.

Da configuração estrutural, note que formou-se um triângulo isósceles de base AB cujos lados AC e BC medem metade do comprimento sem tensão, isto é, 380 mm.

Seja M o ponto médio da base AB, o que corresponde ao pé da altura h do triângulo em relação à base AB. Esta altura é dada por:

\[\mathrm{h=\sqrt{\frac{L_0^2}{4}-\frac{b^2}{4}}\to h=\frac{1}{2}\times \sqrt{(0,76)^2-(0,38)^2}\ \therefore\ h=0,33\ m}\]

Quando a corda é distendida, o comprimento dela passa a ser L e a altura CM passa a ser H, tal que L > L₀ e H > h. Analogamente a situação na qual a corda não está tensionada:

\[\mathrm{L=\sqrt{b^2+4H^2}}\]

Do equilíbrio no ponto C:

\[\mathrm{\sum \overset{\to }{F}=\overset{\to }{0}\ \therefore\ 2Fcos(\theta)=P\ \therefore\ \frac{4FH}{L}=P\ \therefore\ F=\frac{P\sqrt{b^2+4H^2}}{4H}}\]

Da Lei de Hooke:

\[\mathrm{F=k\delta =k(L-L_0)\ \therefore\ \frac{P\sqrt{b^2+4H^2}}{4H}=k\sqrt{b^2+4H^2}-kL_0}\]

Sendo P = 80 N, b = 0,38 m, k = 140 N/m e L₀ = 0,76 m, descobrimos o valor de H ≈ 0,50 m. Da Lei de Hooke descobre-se que δ ≈ 0,31 m (item b).

A deformação é dada por U = 0,5kδ² = 0,5 x 140 x (0,31)² ≈ 6,73 J (item a).

Por fim, a energia de deformação é dada por U(δ) = 0.5kδ² = 70δ² = 6,73 J. Por sua vez, a quantidade 0,5Pδ = 0,5 x 80 x (H - h) = 0,5 x 80 x (0,50 - 0,33) = 6,80 J. Logo, U < 0,5Pδ (item c).

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