Máquina de atwood

por Leonam O. Ter 27 Ago 2024, 14:53

(UFPR 2007) A figura a seguir mostra uma máquina de
Atwood formada por dois baldes idênticos e uma polia.
Um cabo inextensível acoplado ao teto sustenta o eixo
de uma polia, a qual pode girar sem atrito com o eixo.
Os dois baldes encontram-se ligados um ao outro por
meio de uma corda inextensível que não desliza sobre
a polia. Os baldes, a polia, a corda e o cabo têm massas
desprezíveis. Considere que tenhamos 10 kg de areia
para distribuir entre os dois baldes e despreze a resis-
tência do ar.

a) Supondo que a areia tenha sido dividida entre os
baldes em porções de massas m1 e m2 e usando
g para módulo de aceleração da gravidade local,
deduza as fórmulas para a aceleração dos baldes
e para a tração na corda.

Não tenho gabarito.

por matheus_feb Ter 27 Ago 2024, 16:47

Leonam O. escreveu:(UFPR 2007) A figura a seguir mostra uma máquina de
Atwood formada por dois baldes idênticos e uma polia.
Um cabo inextensível acoplado ao teto sustenta o eixo
de uma polia, a qual pode girar sem atrito com o eixo.
Os dois baldes encontram-se ligados um ao outro por
meio de uma corda inextensível que não desliza sobre
a polia. Os baldes, a polia, a corda e o cabo têm massas
desprezíveis. Considere que tenhamos 10 kg de areia
para distribuir entre os dois baldes e despreze a resis-
tência do ar.

a) Supondo que a areia tenha sido dividida entre os
baldes em porções de massas m1 e m2 e usando
g para módulo de aceleração da gravidade local,
deduza as fórmulas para a aceleração dos baldes
e para a tração na corda.

Não tenho gabarito.

Não tenho muita certeza se fiz corretamente, mas cheguei nisso:

Primeiramente, a questão não diz qual o sentido do movimento (se ele acelera a favor da queda do balde com massa m₁ ou a favor do balde de massa m₂). Então considerei as duas possibilidades:

A massa de areia será dividida em m1 e m2, totalizando 10kg. Assim:

m₁ + m₂ = 10kg
m₁ = 10 - m₂
m₂ = 10 - m₁

Para o caso do movimento ser a favor da queda do balde de massa m1:

Fr = m . a
P₁- T = m₁ . a
(m₁.g) - T = m₁. a
[(10 - m₂) . g] - T = (10 - m₂) . a
T + a(10 - m₂) = g(10 - m₂)
T = g(10 - m₂) - a(10 - m₂)
T = (g - a)(10 - m₂)

Para o caso do movimento ser a favor da queda do balde de massa m2, fica quase igual (mas em vez de m₂, é m₁):

T = (g - a)(10 - m₁)

por **Giovana Martins** Sex 30 Ago 2024, 22:41

Matheus, penso que há um ligeiro equívoco na apresentação da resposta. Em questões que versam sobre deduções de expressões, a sua expressão final não pode ser apresentada em função da variável que você não conhece, no caso a aceleração ou então a tração.

As únicas informações conhecidas são as massas dos corpos e a aceleração da gravidade. Em função destas grandezas deve ser apresentada a resposta final.

Sejam 1 e 2 os baldes da direita e da esquerda, respectivamente, tal que m₁ > m₂.

\[\mathrm{\sum \overset{\to}{F}\neq \overset{\to}{0}\ \therefore\ m_1g-T=m_1a\ (i)\ e\ T-m_2g=m_2a\ (ii)}\]

\[\mathrm{De\ (i)\ e\ (ii): a=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)g\ (iii)\ \therefore\ De\ (ii)\ e\ (iii):T=\frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}}\]