Dados os vetores u = (3, 1, 1), v = (−4, 1, 3) e w = (1

Dados os vetores u = (3, 1, 1), v = (−4, 1, 3) e w = (1, 2, 0), determine x de modo que x é perpendicular a w e o produto vetorial entre x e u = v.

Dado que \(\vec{u} = (3, 1, 1)\), \(\vec{v} = (-4, 1, 3)\) e \(\vec{w} = (1, 2, 0)\), o vetor \(\vec{x}\) que é perpendicular a \(\vec{w}\) e cujo produto vetorial com \(\vec{u}\) é igual a \(\vec{v}\) é determinado da seguinte forma:

Primeiro, consideramos as condições impostas:

1. \(\vec{x}\) é perpendicular a \(\vec{w}\).
2. \(\vec{x} \times \vec{u} = \vec{v}\).

Seja \(\vec{x} = (x_1, x_2, x_3)\).

A condição de perpendicularidade entre \(\vec{x}\) e \(\vec{w}\) implica que o produto escalar entre eles deve ser zero:
\[
\vec{x} \cdot \vec{w} = 0
\]
Substituindo \(\vec{w} = (1, 2, 0)\):
\[
x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 2 + x_3 \cdot 0 = 0 \implies x_1 + 2x_2 = 0 \implies x_1 = -2x_2
\]

Agora, usando a segunda condição \(\vec{x} \times \vec{u} = \vec{v}\):
\[
\vec{x} \times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
x_1 & x_2 & x_3 \\
3 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= \vec{i}(x_2 \cdot 1 - x_3 \cdot 1) - \vec{j}(x_1 \cdot 1 - x_3 \cdot 3) + \vec{k}(x_1 \cdot 1 - x_2 \cdot 3)
\]
\[
= \vec{i}(x_2 - x_3) - \vec{j}(x_1 - 3x_3) + \vec{k}(x_1 - 3x_2)
\]

Igualando ao vetor \(\vec{v} = (-4, 1, 3)\), temos:
\[
\begin{cases}
x_2 - x_3 = -4 \\
-x_1 + 3x_3 = 1 \\
x_1 - 3x_2 = 3
\end{cases}
\]

Substituindo \(x_1 = -2x_2\) nas equações acima:
\[
\begin{cases}
x_2 - x_3 = -4 \\
-(-2x_2) + 3x_3 = 1 \implies 2x_2 + 3x_3 = 1 \\
-2x_2 - 3x_2 = 3 \implies -5x_2 = 3 \implies x_2 = -\frac{3}{5}
\end{cases}
\]

Substituindo \(x_2 = -\frac{3}{5}\):
\[
x_1 = -2x_2 = -2 \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{6}{5}
\]
\[
x_2 - x_3 = -4 \implies -\frac{3}{5} - x_3 = -4 \implies x_3 = -4 + \frac{3}{5} = -\frac{20}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{17}{5}
\]

Portanto, o vetor \(\vec{x}\) é:
\[
\vec{x} = \left(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}, -\frac{17}{5}\right)
\]