Dados os vetores, Determine.

Dado os vetores:

u=(1,2,-1)
v= -(i)+3j-2.k
w=(3,1,0)


Determine as questões V ou F.

A projeção do vetor v sobre u é

O vetor v é perpendicular ao vetor u.

Os vetores u, v, w, não são complanares.

O complemento do ângulo entre os vetores u, v, medem

Dado os vetores:
u=(1,2,-1)
v= -(i)+3j-2.k
w=(3,1,0)
Determine as questões V ou F.
a) A projeção do vetor v sobre u é [\dpi{100} \frac{7*\sqrt{6}}{6}uc] ( )
b) O vetor v é perpendicular ao vetor u. ( )
c) Os vetores u, v, w, não são complanares. ( )
d) O complemento do ângulo entre os vetores u, v, medem [\dpi{120} 49^{\circ}48'] ( )

ITEM (A)
O vetor u = (1, 2, -1) pode ser escrito como Combinação Linear dos vetores {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, -1)}. Vamos escrever o vetor v como Combinação Linear de {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, -1)} e depois encontrar seu módulo (ou comprimento):
v = -i + 3j - 2k = (-1, 3, -2)

v = a(1, 0, 0) + b(0, 2, 0) + c(0, 0, -1)
(-1, 3, -2) = a(1, 0, 0) + b(0, 2, 0) + c(0, 0, -1)
(-1, 3, -2) = (a, 2b, -c)
a = -1
2b = 3 --> b = 3/2
-c = -2 x(-1) --> c = 2
[v]_u = (-1, 3/2, 2)

Calculando o módulo da projeção do vetor v sobre o vetor u:
|[v]_u| = V[(-1)² + (3/2)² + (2)²]
|[v]_u| = V[1 + 9/4 + 4]
|[v]_u| = V[(4 + 9 + 16)/4]
|[v]_u| = (V29)/2 --------------- (FALSA)


ITEM (B)
Você deve calcular o Produto Interno (ou Escalar) se der igual a zero então os vetores são perpendiculares.
u.v = (1,2,-1).(-1, 3, -2)
u.v = 1.(-1) + 2.3 + (-1).(-2)
u.v = -1 + 6 + 2 = 7 --------------- (FALSA)


ITEM (C)
???


ITEM (D)
Basta utilizar a definição de Produto Interno (ou Escalar):
u.v = |u|.|v|cosθ

Calculando o módulo do vetor u (|u|):
|u| = V[(1)² + (2)² + (-1)²] = V4 = 2 u.c.

Calculando o módulo do vetor v (|v|):
|v| = V[(-1)² + (3)² + (-2)²] = V14 u.c.

Encontrando o ângulo entre os vetores u e v (θ)
cosθ = (u.v)/(|u|.|v|)
cosθ = 7/[2.(V14)]
cosθ = (V14)/4
θ = arc cos[(V14)/4]

Espero ter ajudado,

Aryleudo (Ary).

P.S.: Esse assunto é Álgebra Linear (Nível Superior). Se quiser aprofundar o conhecimento sugiro pegar "Boldrini" ou algum da coleção "Shaum".