Dúvida Conceitual - Limites

por matheus_feb Qua 21 Ago 2024, 19:33

Relembrando a primeira mensagem :

Boa noite, colegas.
Embora ainda não seja de meu conhecimento completo, estou dando uma pequena pincelada inicial sobre o conceito de limites do cálculo (uma das primeiras matérias da grade de cálculo I, se não estiver enganado). Vi alguns vídeos explicando o conceito mais básico e exemplos. Mas não entendi muito bem (com isso quero dizer o comportamento de um gráfico) quando o limite é inexistente. Li que tem algo haver com ele ser diferente quando ''tende'' ao sentido da esquerda e quando ele ''tende'' ao sentido da direita. Alguém saberia me explicar melhor?

Além disso, elaborei alguns gráficos em uma calculadora gráfica e percebi algo curioso. Alterando o sinal para ''+'' ou ''-'' em (x² + x), o comportamento do gráfico muda completamente. Isso tem algo haver com essa ideia de limites?

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por **Giovana Martins** Sex 06 Set 2024, 17:56

A propósito, se as dúvidas persistirem, é só falar.

por matheus_feb Sex 06 Set 2024, 18:13

Giovana Martins escreveu:
A propósito, se as dúvidas persistirem, é só falar.

Boa noite, Giovana! Espero que esteja bem.

Creio já ter apresentado esta dúvida, ou não, não me recordo no momento. Mas você saberia me apresentar uma explicação (formal ou não) para derivadas? Assim, eu sei que ''derivadas são a taxa de variação sobre a reta tangente a uma função'', mas não consegui encontrar nenhum vídeo muito bom explicando o que isso significa exatamente e como ela se aplica em diferentes casos. Se possível, gostaria de ilustrações do Geogebra, que ajudam muito a ilustrar seu pensamento. Espero também que tenha conseguido expressar minha dúvida.

por **Elcioschin** Sex 06 Set 2024, 19:51

Imagine uma curva f(x), por exemplo no 1º quadrante (pode ser uma parábola, um ramo de hipérbole, uma curva logarítmica, uma curva exponencial, uma senóide, etc).

Escolha um ponto P da curva e por P trace uma uma reta tangente à curva, até encontrar o eixo x em A
Marque o ângulo θ = PÂX+

O valor numérico da derivada da curva, no ponto P(xP, yP) nada mais é do que tgθ

por matheus_feb Sex 06 Set 2024, 20:07

Elcioschin escreveu:Imagine uma curva f(x), por exemplo no 1º quadrante (pode ser uma parábola, um ramo de hipérbole, uma curva logarítmica, uma curva exponencial, uma senóide, etc).

Escolha um ponto P da curva e por P trace uma uma reta tangente à curva, até encontrar o eixo x em A
Marque o ângulo θ = PÂX+

O valor numérico da derivada da curva, no ponto P(xP, yP) nada mais é do que tgθ

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Fiz essa representação para ilustrar meu pensamento. Se a derivada mede a taxa de variação em um ponto tangente à função, porquê ela se comporta desta forma? (cortando a função em dois pontos, no caso dessa função). Não era para ela ser tangente ao gráfico da parábola?

por **Giovana Martins** Sáb 07 Set 2024, 09:48

matheus_feb escreveu:
Elcioschin escreveu:
Imagine uma curva f(x), por exemplo no 1º quadrante (pode ser uma parábola, um ramo de hipérbole, uma curva logarítmica, uma curva exponencial, uma senóide, etc).

Escolha um ponto P da curva e por P trace uma uma reta tangente à curva, até encontrar o eixo x em A
Marque o ângulo θ = PÂX+

O valor numérico da derivada da curva, no ponto P(xP, yP) nada mais é do que tgθ

Fiz essa representação para ilustrar meu pensamento. Se a derivada mede a taxa de variação em um ponto tangente à função, porquê ela se comporta desta forma? (cortando a função em dois pontos, no caso dessa função). Não era para ela ser tangente ao gráfico da parábola?

Há uma ligeira falha conceitual. A reta tangente, por definição, depende do ponto considerado.

Quando você calcula a derivada, você quer saber o que está acontecendo com o fenômeno observado num dado instante. O que você calculou foi simplesmente a derivada, mas não indicou o ponto em si para medir a taxa de variação ou a inclinação da reta tangente (outra consequência do cálculo da derivada). Você obteve apenas um perfil genérico da taxa de variação.

Definição: a reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(k,f(k)) é a reta por P que tem inclinação:

\[\mathrm{m=\displaystyle \lim_{x \to k}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}}\]

Desde que este limite exista.

Digamos que você queira encontrar a reta tangente. A pergunta que surge é: qual reta tangente? Há uma infinidade de retas tangente à parábola que você descreveu. Por exemplo, digamos que a gente queira a reta tangente à parábola no ponto cuja abscissa é x = x₀ = - 2. Neste caso, a inclinação a reta tangente em x = - 2 é dada por f'(- 2) = 2 · (- 2) + 2 = - 2. Por sua vez, a ordenada y₀ no ponto cuja abscissa é x₀ = - 2 é dada por P(- 2) = (- 2)² + 2 · (- 2) = 0.

A reta tangente é dada por: y - y₀ = f'(- 2)(x - x₀) → y = (- 2) · (x + 2) + 0 ∴ y = - 2x - 4.

por matheus_feb Sáb 07 Set 2024, 11:19

Giovana Martins escreveu:
matheus_feb escreveu:
Elcioschin escreveu:
Imagine uma curva f(x), por exemplo no 1º quadrante (pode ser uma parábola, um ramo de hipérbole, uma curva logarítmica, uma curva exponencial, uma senóide, etc).

Escolha um ponto P da curva e por P trace uma uma reta tangente à curva, até encontrar o eixo x em A
Marque o ângulo θ = PÂX+

O valor numérico da derivada da curva, no ponto P(xP, yP) nada mais é do que tgθ

Fiz essa representação para ilustrar meu pensamento. Se a derivada mede a taxa de variação em um ponto tangente à função, porquê ela se comporta desta forma? (cortando a função em dois pontos, no caso dessa função). Não era para ela ser tangente ao gráfico da parábola?

Há uma ligeira falha conceitual. A reta tangente, por definição, depende do ponto considerado.

Quando você calcula a derivada, você quer saber o que está acontecendo com o fenômeno observado num dado instante. O que você calculou foi simplesmente a derivada, mas não indicou o ponto em si para medir a taxa de variação ou a inclinação da reta tangente (outra consequência do cálculo da derivada). Você obteve apenas um perfil genérico da taxa de variação.

Definição: a reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(k,f(k)) é a reta por P que tem inclinação:

\[\mathrm{m=\displaystyle \lim_{x \to k}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}}\]

Desde que este limite exista.

Digamos que você queira encontrar a reta tangente. A pergunta que surge é: qual reta tangente? Há uma infinidade de retas tangente à parábola que você descreveu. Por exemplo, digamos que a gente queira a reta tangente à parábola no ponto cuja abscissa é x = x₀ = - 2. Neste caso, a inclinação a reta tangente em x = - 2 é dada por f'(- 2) = 2 · (- 2) + 2 = - 2. Por sua vez, a ordenada y₀ no ponto cuja abscissa é x₀ = - 2 é dada por P(- 2) = (- 2)² + 2 · (- 2) = 0.

A reta tangente é dada por: y - y₀ = f'(- 2)(x - x₀) → y = (- 2) · (x + 2) + 0 ∴ y = - 2x - 4.

Bom dia, Giovana!
Eu já acreditava que o raciocínio era exatamente este que você descreveu, apenas não estava com 100% de certeza. Dos vídeos disponibilizados por professores, nenhum deles conseguiu deixar claro dessa forma que você me mostrou. Muito obrigado pela didática fácil de entender! Razz

por matheus_feb Sáb 07 Set 2024, 14:13

Giovana Martins escreveu:
matheus_feb escreveu:
Elcioschin escreveu:
Imagine uma curva f(x), por exemplo no 1º quadrante (pode ser uma parábola, um ramo de hipérbole, uma curva logarítmica, uma curva exponencial, uma senóide, etc).

Escolha um ponto P da curva e por P trace uma uma reta tangente à curva, até encontrar o eixo x em A
Marque o ângulo θ = PÂX+

O valor numérico da derivada da curva, no ponto P(xP, yP) nada mais é do que tgθ

Fiz essa representação para ilustrar meu pensamento. Se a derivada mede a taxa de variação em um ponto tangente à função, porquê ela se comporta desta forma? (cortando a função em dois pontos, no caso dessa função). Não era para ela ser tangente ao gráfico da parábola?

Há uma ligeira falha conceitual. A reta tangente, por definição, depende do ponto considerado.

Quando você calcula a derivada, você quer saber o que está acontecendo com o fenômeno observado num dado instante. O que você calculou foi simplesmente a derivada, mas não indicou o ponto em si para medir a taxa de variação ou a inclinação da reta tangente (outra consequência do cálculo da derivada). Você obteve apenas um perfil genérico da taxa de variação.

Definição: a reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(k,f(k)) é a reta por P que tem inclinação:

\[\mathrm{m=\displaystyle \lim_{x \to k}\frac{f(x)-f(k)}{x-k}}\]

Desde que este limite exista.

Digamos que você queira encontrar a reta tangente. A pergunta que surge é: qual reta tangente? Há uma infinidade de retas tangente à parábola que você descreveu. Por exemplo, digamos que a gente queira a reta tangente à parábola no ponto cuja abscissa é x = x₀ = - 2. Neste caso, a inclinação a reta tangente em x = - 2 é dada por f'(- 2) = 2 · (- 2) + 2 = - 2. Por sua vez, a ordenada y₀ no ponto cuja abscissa é x₀ = - 2 é dada por P(- 2) = (- 2)² + 2 · (- 2) = 0.

A reta tangente é dada por: y - y₀ = f'(- 2)(x - x₀) → y = (- 2) · (x + 2) + 0 ∴ y = - 2x - 4.

Para aproveitar e ver se realmente entendi, peguei uma questão disponibilizada por um professor:

1) Determine a reta tangente ao gráfico da função f, dada por f(x) = x^4 + 3x, no ponto P = (1, 4).

f'(x) = 4x³ + 3

f'(x) → No ponto P (1,4) → f'(x) = ax + b → f'(x) = 4.(1)³+ 3 = 7
y = ax + b → 4 = 7.1 + b → b = -3

Logo, a reta tangente é igual a g(x) = 7x - 3

Tenho uma outra dúvida, dessa vez acerca de limites. Vou pegar um exemplo genérico:

Dúvida Conceitual - Limites - Página 2 Limite14

Caso os limites quando x tende a direita (x⁺) fosse diferente para quando x tende a esquerda (x^-), como calcular cada um individualmente quando, por exemplo, x tende a 1 para a direita e 1 para a esquerda? Não se se conseguiu me compreender..

por **Giovana Martins** Sáb 07 Set 2024, 15:12

Quanto ao item 1), você está correto. A reta tangente no ponto considerado é exatamente a reta que você encontrou.

Quanto à segunda dúvida, não sei se o limite indicado no exemplo é o melhor para tirar a dúvida, porque ele existe e pode ser resolvido via fatoração de forma semelhante ao limite que eu usei de exemplo na postagem anterior. Veja:

\[\mathrm{\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\frac{x-1}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x-3},se\ x\neq 1}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{2}}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{2}}\]

\[\mathrm{f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\frac{1}{x-3}\ \therefore\ f(1)=-\frac{1}{2}}\]

Portanto, o limite existe e tende a - 1/2.

Vamos, agora, a um exemplo no qual os limites laterais divergem entre si, o que acarreta a não existência do limite.

Seja a função f(x) adiante e digamos que a gente queira determinar o limite da função abaixo quando x tende a 0:

\[\mathrm{f(x)=}\left\{\begin{matrix}\mathrm{x^{2},se\ x\geq 0} \\\mathrm{x+10,se\ x<0}\end{matrix}\right.\]

Veja o que acontece quando x tende a 0 pela esquerda:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}(x+10)=10}\]

Veja o que acontece quando x tende a 0 pela direita:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(x^{2})=0}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)\neq \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)\ \therefore\ \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=\nexists}\]

por matheus_feb Sáb 07 Set 2024, 15:26

Giovana Martins escreveu:
Quanto ao item 1), você está correto. A reta tangente no ponto considerado é exatamente a reta que você encontrou.

Quanto à segunda dúvida, não sei se o limite indicado no exemplo é o melhor para tirar a dúvida, porque ele existe e pode ser resolvido via fatoração de forma semelhante ao limite que eu usei de exemplo na postagem anterior. Veja:

\[\mathrm{\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\frac{x-1}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x-3},se\ x\neq 1}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{2}}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{2}}\]

\[\mathrm{f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\frac{1}{x-3}\ \therefore\ f(1)=-\frac{1}{2}}\]

Portanto, o limite existe e tende a - 1/2.

Vamos, agora, a um exemplo no qual os limites laterais divergem entre si, o que acarreta a não existência do limite.

Seja a função f(x) adiante e digamos que a gente queira determinar o limite da função abaixo quando x tende a 0:

\[\mathrm{f(x)=}\left\{\begin{matrix}\mathrm{x^{2},se\ x\geq 0} \\\mathrm{x+10,se\ x<0}\end{matrix}\right.\]
Veja o que acontece quando x tende a 0 pela esquerda:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}(x+10)=10}\]

Veja o que acontece quando x tende a 0 pela direita:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(x^{2})=0}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)\neq \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)\ \therefore\ \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=\nexists}\]

Entendi. Cara, nem sei como agraceder por toda essa ajuda que você está me dando em Cálculo. Aprendi bastante e vou exercitar mais questões. Mais uma vez, muito obrigado pela simpatia de sempre! Very Happy

por **Giovana Martins** Sáb 07 Set 2024, 15:38

matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Quanto ao item 1), você está correto. A reta tangente no ponto considerado é exatamente a reta que você encontrou.

Quanto à segunda dúvida, não sei se o limite indicado no exemplo é o melhor para tirar a dúvida, porque ele existe e pode ser resolvido via fatoração de forma semelhante ao limite que eu usei de exemplo na postagem anterior. Veja:

\[\mathrm{\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\frac{x-1}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x-3},se\ x\neq 1}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{2}}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{2}}\]

\[\mathrm{f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-4x+3}=\frac{1}{x-3}\ \therefore\ f(1)=-\frac{1}{2}}\]

Portanto, o limite existe e tende a - 1/2.

Vamos, agora, a um exemplo no qual os limites laterais divergem entre si, o que acarreta a não existência do limite.

Seja a função f(x) adiante e digamos que a gente queira determinar o limite da função abaixo quando x tende a 0:

\[\mathrm{f(x)=}\left\{\begin{matrix}\mathrm{x^{2},se\ x\geq 0} \\\mathrm{x+10,se\ x<0}\end{matrix}\right.\]
Veja o que acontece quando x tende a 0 pela esquerda:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}(x+10)=10}\]

Veja o que acontece quando x tende a 0 pela direita:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(x^{2})=0}\]

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)\neq \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)\ \therefore\ \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=\nexists}\]
Entendi. Cara, nem sei como agraceder por toda essa ajuda que você está me dando em Cálculo. Aprendi bastante e vou exercitar mais questões. Mais uma vez, muito obrigado pela simpatia de sempre!