Dúvida Conceitual - Limites

por matheus_feb Qua 21 Ago 2024, 19:33

Boa noite, colegas.
Embora ainda não seja de meu conhecimento completo, estou dando uma pequena pincelada inicial sobre o conceito de limites do cálculo (uma das primeiras matérias da grade de cálculo I, se não estiver enganado). Vi alguns vídeos explicando o conceito mais básico e exemplos. Mas não entendi muito bem (com isso quero dizer o comportamento de um gráfico) quando o limite é inexistente. Li que tem algo haver com ele ser diferente quando ''tende'' ao sentido da esquerda e quando ele ''tende'' ao sentido da direita. Alguém saberia me explicar melhor?

Além disso, elaborei alguns gráficos em uma calculadora gráfica e percebi algo curioso. Alterando o sinal para ''+'' ou ''-'' em (x² + x), o comportamento do gráfico muda completamente. Isso tem algo haver com essa ideia de limites?

por **Giovana Martins** Qua 21 Ago 2024, 20:48

Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.

Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]

A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.

Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.

Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.

Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.

Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]

Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0^- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0⁺ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.

Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.

Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.

Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.

Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.

Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.

Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).

por matheus_feb Qua 21 Ago 2024, 21:31

Giovana Martins escreveu:
Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.

Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]

A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.

Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.

Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.

Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.

Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]

Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0^- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0⁺ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.

Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.

Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.

Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.

Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.

Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.

Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).

Muito obrigado pela paciência de sempre, Giovana. Estava realmente com essa dúvida há algum tempo e sempre quis saná-la.

Apenas não entendi uma coisa: quando você diz que x tende ao mais infinito, este ''mais'' é em relação ao próprio limite de f(x), certo?

Outro ponto que gostaria de situar está no primeiro gráfico que postei acima (caso tenha dificuldade em vê-lo, amplie). Se x → 1, teríamos uma indeterminação pelo denominador zero. Porém, analisando o gráfico, vemos que o limite de f(x) vai tender a 1. Isso tem algo haver com seu raciocínio acima? No qual, considerando x nunca igual a 1, porém muito próximo, o limite tende a 1 também?

Digo isso porquê, se admitirmos x = 1, cairíamos na indeterminação, impossibilitando o cálculo do limite. Nesse caso, existe uma forma de calculá-lo mesmo assim, entre outras palavras, ''driblar'' a indeterminação?

por **Elcioschin** Qua 21 Ago 2024, 22:42

Quando dizemos que x tende a +∞, significa que tende no sentido do eixo X+
E vice-versa, quando x tende a -∞

E o mesmo vale para f(x) tendendo a +∞ e a -∞, só que em relação ao eixo y

por **Emanuel Dias** Qui 22 Ago 2024, 02:18

Giovana Martins escreveu:
Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.

Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]

A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.

Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.

Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.

Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.

Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]

Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0^- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0⁺ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.

Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.

Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.

Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.

Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.

Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.

Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).

Olha só. Não sabia que dava pra adicionar essa interação com o geogebra. Usarei muito. Muito legal.

por matheus_feb Qui 22 Ago 2024, 06:26

Elcioschin escreveu:Quando dizemos que x tende a +∞, significa que tende no sentido do eixo X+
E vice-versa, quando x tende a -∞

E o mesmo vale para f(x) tendendo a +∞ e a -∞, só que em relação ao eixo y

Obrigado, professor Elcio!

por matheus_feb Qui 05 Set 2024, 08:26

Giovana Martins escreveu:
Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.

Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]

A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.

Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.

Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.

Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.

Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]

Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0^- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0⁺ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.

Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.

Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.

Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.

Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.

Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.

Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).

Olá, Giovana. Voltei nesta postagem para sanar uma outra dúvida relacionada ao o que você me apresentou aqui.

Como você me mostrou acima, graficamente, é fácil ver quando um limite que tende a x- pela esquerda é igual ou não ao limite quando x+ tende a direita. Mas como é possível provar isto calculando? Estava realizando uma questão de limites laterais e não sabia como fazer essa análise apenas calculando. Como resolvo este tipo de problema?

por **Giovana Martins** Qui 05 Set 2024, 15:20

matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.

Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]

A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.

Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.

Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.

Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.

Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]

Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0^- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0⁺ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.

Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.

Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.

Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.

Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.

Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.

Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).
Olá, Giovana. Voltei nesta postagem para sanar uma outra dúvida relacionada ao o que você me apresentou aqui.

Como você me mostrou acima, graficamente, é fácil ver quando um limite que tende a x- pela esquerda é igual ou não ao limite quando x+ tende a direita. Mas como é possível provar isto calculando? Estava realizando uma questão de limites laterais e não sabia como fazer essa análise apenas calculando. Como resolvo este tipo de problema?

Então, no exemplo que eu fiz acima, eu fiz a conta em si, mas acho que não ficou muito claro porque eu descrevi via texto.

À noite eu vou resolver trazer um exemplo numérico.

por matheus_feb Qui 05 Set 2024, 15:33

Giovana Martins escreveu:
matheus_feb escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.

Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]

A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.

Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.

Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.

Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.

Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]

Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0^- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0⁺ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.

Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.

Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.

Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.

Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.

Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.

Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).
Olá, Giovana. Voltei nesta postagem para sanar uma outra dúvida relacionada ao o que você me apresentou aqui.

Como você me mostrou acima, graficamente, é fácil ver quando um limite que tende a x- pela esquerda é igual ou não ao limite quando x+ tende a direita. Mas como é possível provar isto calculando? Estava realizando uma questão de limites laterais e não sabia como fazer essa análise apenas calculando. Como resolvo este tipo de problema?

Então, no exemplo que eu fiz acima, eu fiz a conta em si, mas acho que não ficou muito claro porque eu descrevi via texto.

À noite eu vou resolver trazer um exemplo numérico.

Ok, muito obrigado! Sou grato por toda essa ajuda que você está dando..

por **Giovana Martins** Sex 06 Set 2024, 17:53

Seja a função racional:

\[\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}}\]

A qual pode ser escrita como:

\[\mathrm{f(x)=\frac{x-6}{x+2}, se\ x\neq 3}\]

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{(x-3)(x-6)}{(x+2)(x-3)}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x-6}{x+2}=-\frac{3}{5}}\]

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{(x-3)(x-6)}{(x+2)(x-3)}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x-6}{x+2}=-\frac{3}{5}}\]

Deste modo, sendo:

\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=-\frac{3}{5}\ \therefore\ \displaystyle \lim_{x \to 3^{}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=-\frac{3}{5}}\]

Sendo:

\[\mathrm{f(3)=\frac{3-6}{3+2}=-\frac{3}{5}}\]

O limite existe e é igual a - 3/5, uma vez que:

\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=f(3)=-\frac{3}{5}}\]

No caso de o limite não existir, o que irá ocorrer é o seguinte: ao calcular o limites laterais, eles resultaram em valores distintos. A partir disso você já pode concluir que o limite em si não existe.