Dúvida Conceitual - Limites
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Dúvida Conceitual - Limites
Boa noite, colegas.
Embora ainda não seja de meu conhecimento completo, estou dando uma pequena pincelada inicial sobre o conceito de limites do cálculo (uma das primeiras matérias da grade de cálculo I, se não estiver enganado). Vi alguns vídeos explicando o conceito mais básico e exemplos. Mas não entendi muito bem (com isso quero dizer o comportamento de um gráfico) quando o limite é inexistente. Li que tem algo haver com ele ser diferente quando ''tende'' ao sentido da esquerda e quando ele ''tende'' ao sentido da direita. Alguém saberia me explicar melhor?
Além disso, elaborei alguns gráficos em uma calculadora gráfica e percebi algo curioso. Alterando o sinal para ''+'' ou ''-'' em (x2 + x), o comportamento do gráfico muda completamente. Isso tem algo haver com essa ideia de limites?
![Dúvida Conceitual - Limites Limite11](https://i.servimg.com/u/f67/20/56/91/14/limite11.jpg)
![Dúvida Conceitual - Limites Limite10](https://i.servimg.com/u/f67/20/56/91/14/limite10.jpg)
Embora ainda não seja de meu conhecimento completo, estou dando uma pequena pincelada inicial sobre o conceito de limites do cálculo (uma das primeiras matérias da grade de cálculo I, se não estiver enganado). Vi alguns vídeos explicando o conceito mais básico e exemplos. Mas não entendi muito bem (com isso quero dizer o comportamento de um gráfico) quando o limite é inexistente. Li que tem algo haver com ele ser diferente quando ''tende'' ao sentido da esquerda e quando ele ''tende'' ao sentido da direita. Alguém saberia me explicar melhor?
Além disso, elaborei alguns gráficos em uma calculadora gráfica e percebi algo curioso. Alterando o sinal para ''+'' ou ''-'' em (x2 + x), o comportamento do gráfico muda completamente. Isso tem algo haver com essa ideia de limites?
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Última edição por matheus_feb em Qui 22 Ago 2024, 06:26, editado 1 vez(es)
matheus_feb- Jedi
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Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Dúvida Conceitual - Limites
Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.
Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:
\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]
A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.
Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.
Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.
Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.
Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:
\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]
Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0+ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.
Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.
Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.
Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.
Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.
Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.
Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
Muito obrigado pela paciência de sempre, Giovana. Estava realmente com essa dúvida há algum tempo e sempre quis saná-la.Giovana Martins escreveu:Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0+ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).
Apenas não entendi uma coisa: quando você diz que x tende ao mais infinito, este ''mais'' é em relação ao próprio limite de f(x), certo?
Outro ponto que gostaria de situar está no primeiro gráfico que postei acima (caso tenha dificuldade em vê-lo, amplie). Se x → 1, teríamos uma indeterminação pelo denominador zero. Porém, analisando o gráfico, vemos que o limite de f(x) vai tender a 1. Isso tem algo haver com seu raciocínio acima? No qual, considerando x nunca igual a 1, porém muito próximo, o limite tende a 1 também?
Digo isso porquê, se admitirmos x = 1, cairíamos na indeterminação, impossibilitando o cálculo do limite. Nesse caso, existe uma forma de calculá-lo mesmo assim, entre outras palavras, ''driblar'' a indeterminação?
matheus_feb- Jedi
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
Quando dizemos que x tende a +∞, significa que tende no sentido do eixo X+
E vice-versa, quando x tende a -∞
E o mesmo vale para f(x) tendendo a +∞ e a -∞, só que em relação ao eixo y
E vice-versa, quando x tende a -∞
E o mesmo vale para f(x) tendendo a +∞ e a -∞, só que em relação ao eixo y
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
Giovana Martins escreveu:Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0+ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).
Olha só. Não sabia que dava pra adicionar essa interação com o geogebra. Usarei muito. Muito legal.
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El Álgebra no es más que Geometría y la Geometría no es más que Álgebra abstracta
Sophie Germain
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Emanuel Dias- Monitor
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
Obrigado, professor Elcio!Elcioschin escreveu:Quando dizemos que x tende a +∞, significa que tende no sentido do eixo X+
E vice-versa, quando x tende a -∞
E o mesmo vale para f(x) tendendo a +∞ e a -∞, só que em relação ao eixo y
matheus_feb- Jedi
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
Olá, Giovana. Voltei nesta postagem para sanar uma outra dúvida relacionada ao o que você me apresentou aqui.Giovana Martins escreveu:Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0+ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).
Como você me mostrou acima, graficamente, é fácil ver quando um limite que tende a x- pela esquerda é igual ou não ao limite quando x+ tende a direita. Mas como é possível provar isto calculando? Estava realizando uma questão de limites laterais e não sabia como fazer essa análise apenas calculando. Como resolvo este tipo de problema?
matheus_feb- Jedi
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
matheus_feb escreveu:Giovana Martins escreveu:Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0+ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).Olá, Giovana. Voltei nesta postagem para sanar uma outra dúvida relacionada ao o que você me apresentou aqui.Como você me mostrou acima, graficamente, é fácil ver quando um limite que tende a x- pela esquerda é igual ou não ao limite quando x+ tende a direita. Mas como é possível provar isto calculando? Estava realizando uma questão de limites laterais e não sabia como fazer essa análise apenas calculando. Como resolvo este tipo de problema?
Então, no exemplo que eu fiz acima, eu fiz a conta em si, mas acho que não ficou muito claro porque eu descrevi via texto.
À noite eu vou resolver trazer um exemplo numérico.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
Ok, muito obrigado! Sou grato por toda essa ajuda que você está dando..Giovana Martins escreveu:matheus_feb escreveu:Giovana Martins escreveu:Observação: a ideia que eu irei descrever abaixo é bem informal. É só para facilitar o entendimento, ou seja, carece totalmente de rigor formal.Primeiramente, para um limite existir, deve se ter a seguinte condição:\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to t ^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to t ^{+}}f(x)=f(t )}\]A grosso modo, isto quer dizer que para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais o valor da função aplicada nas proximidades do valor t.Deixe bem claro que isto é apenas uma tradução bem "sem vergonha" da linguagem matemática indicada acima na igualdade. É apenas para facilitar o entendimento.Para melhor entendimento formal sugiro o livro do Guidorizzi.Vou deixar um exemplo clássico de um limite inexistente e que esta conclusão é facilmente obtida sem sequer fazermos cálculos.Agora, digamos que a gente queira calcular o limite adiante:\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x} \right )}\]Observe que ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda (0- - a notação é esta) a função f(x) tende ao menos infinito. Agora, ao nos aproximarmos de 0 pela direta (0+ - a notação é esta) a função f(x) tende ao mais infinito. Note que os limites laterais divergem entre si, logo, o limite de f(x) quando x tende a 0 não existe.Agora, veja o que ocorre quando analisamos uma função cujo limite existe quando x tende a zero.Observe que ao nos aproximarmos de 0 tanto pela esquerda quanto pela direita o gráfico de f(x) converge para o mais infinito.Mas isso por si só não garante que o limite existe. Eu ainda preciso provar que a função aplicada em t (da nossa definição inicial) é igual aos limites laterais. Note que a partir de f(x → 0) = 1/x² → + ∞, pois quanto menor o denominador, sendo o numerador constante, maior será f(x → 0), logo, quando x tende a zero, f(x → 0) tende ao mais infinito, tal como os limites laterais.Sendo assim, o limite existe e equivale a mais infinito.Nota 1: a notação f(x → 0), a meu ver, é um abuso de notação. O fiz pela didática, mas nunca vi esta notação em nenhum livro de referência.Nota 2: talvez você se pergunte: poxa, mas você fez x = 0 no denominador, o que está totalmente errado, pois não se pode ter uma divisão por 0. Este pensamento não procede. Eu não fiz x = 0, mas sim x → 0, isto é, x tendendo a zero. O x nunca será zero, afinal, quando estudamos limites, queremos saber o comportamento da função nas proximidades de referência (o valor 0 neste caso).Olá, Giovana. Voltei nesta postagem para sanar uma outra dúvida relacionada ao o que você me apresentou aqui.Como você me mostrou acima, graficamente, é fácil ver quando um limite que tende a x- pela esquerda é igual ou não ao limite quando x+ tende a direita. Mas como é possível provar isto calculando? Estava realizando uma questão de limites laterais e não sabia como fazer essa análise apenas calculando. Como resolvo este tipo de problema?Então, no exemplo que eu fiz acima, eu fiz a conta em si, mas acho que não ficou muito claro porque eu descrevi via texto.À noite eu vou resolver trazer um exemplo numérico.
matheus_feb- Jedi
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Re: Dúvida Conceitual - Limites
Seja a função racional:
\[\mathrm{f(x)=\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}}\]
A qual pode ser escrita como:
\[\mathrm{f(x)=\frac{x-6}{x+2}, se\ x\neq 3}\]
\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{(x-3)(x-6)}{(x+2)(x-3)}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x-6}{x+2}=-\frac{3}{5}}\]
\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{(x-3)(x-6)}{(x+2)(x-3)}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x-6}{x+2}=-\frac{3}{5}}\]
Deste modo, sendo:
\[\mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=-\frac{3}{5}\ \therefore\ \displaystyle \lim_{x \to 3^{}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=-\frac{3}{5}}\]
Sendo:
\[\mathrm{f(3)=\frac{3-6}{3+2}=-\frac{3}{5}}\]
O limite existe e é igual a - 3/5, uma vez que:
\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=f(3)=-\frac{3}{5}}\]
O limite existe e é igual a - 3/5, uma vez que:
\[ \mathrm{\displaystyle \lim_{x \to 3^{-}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=\displaystyle \lim_{x \to 3^{+}}\frac{x^{2}-9x+18}{x^{2}-x-6}=f(3)=-\frac{3}{5}}\]
No caso de o limite não existir, o que irá ocorrer é o seguinte: ao calcular o limites laterais, eles resultaram em valores distintos. A partir disso você já pode concluir que o limite em si não existe.
Última edição por Giovana Martins em Sáb 07 Set 2024, 05:49, editado 3 vez(es)
Giovana Martins- Grande Mestre
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