polinômios

por giovannixaviermisselli Qui 12 Set 2024, 10:18

(UFES 2002) O polinômio x^3 + ax^2 +bx + 7, com coeficientes reais , é divisível por x^2 + x + 1. O valor da soma a + b é:

gab: 16

por Lipo_f Qui 12 Set 2024, 14:20

Se x² + x + 1 divide x³ + ax² + bx + 7, as raízes p e q do primeiro são raízes do segundo (raízes p, q e r).
Sei que p + q = -1 e pq = 1 (soma e produto)
Na segunda, pqr = -7 => r = -7.
Soma: -a = p + q + r = -1 - 7 = -8 => a = 8
Soma dois a dois: b = pq + pr + qr = pq + r(p + q) = 1 - 7(-1) = 8 => b = 8
Logo a + b = 16.

por **Elcioschin** Qui 12 Set 2024, 14:47

Outro modo

+ x³ ..... + a.x² ...... + b.x ...... + 7 lx² ... + x ...+ 1
- x³ ....... - x² ......... - 1.x ..............lx + (a - 1)
-----------------------------------------
........+(a-1).x² ...+(b-1).x ..... + 7
.........-(a-1).x² ....-(a-1).x ... -(a-1)
-----------------------------------------
..........................(a - b).x + (8 - a)

Resto é nulo ---> 8 - a = 0 ---> a = 8 ---> (a - b) = 0 ---> 8 - b = 0 ---> b = 8

a + b = 16

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