Triângulo de Pascal

Alguém poderia me ajudar por favor??

Some ao contrário rs. Antes escreva 0Cn,0
Daí:
S = 0Cn,0 + 1Cn,1 + ... + nCn,n
S = nCn,n + (n-1)Cn,n-1 + ... + 0Cn,0
Como Cn,k = Cn,n-k
S = nCn,0 + (n-1)Cn,1 + ... + 0Cn,n
Daí soma esse povo todo, o coeficiente sempre vai dar k + n-k = n: 2S = n[Cn,0 + Cn,1 + ... + Cn,n]. Do teorema das linhas, 2S = n 2^n => S = n 2^(n-1).

Vou fazer de duas outras formas:

1ª forma:

Reparamos a seguinte propriedade (conhecida como fórmula de absorção):
\(  \displaystyle p \binom np = p \cdot \dfrac{n!}{(n-p)!p!} = n \cdot \dfrac{(n-1)!}{(n-p)!(p-1)!} = n \binom{n-1}{p-1}\)

Logo ficamos com:

\( \displaystyle S = \binom n1 + 2 \binom n2 + 3 \binom n3 + \cdots +  n \binom nn  \implies  \)

\(\displaystyle S = n\binom{n-1}{0} + n \binom{n-1}1 + n \binom{n-1}{2} + \cdots + n \binom {n-1}{n-1} \implies \)

\(\displaystyle S = n \left[ \binom{n-1}{0} +  \binom{n-1}1 +  \binom{n-1}{2} + \cdots + \binom {n-1}{n-1} \right] \)

Usando que \( \displaystyle \binom k0 + \binom k1 +  \cdots + \binom kk = 2^k\)  (teorema das linhas) segue que \( S = n2^{n-1}\)

2ª forma: Vamos dar uma interpretação combinatória.

Digamos que temos n pessoas em uma equipe e vamos selecionar um grupo dentre essas pessoas para realizar uma tarefa. Esse grupo necessariamente precisa ter um lider (em particular é não vazio).

Uma maneira de contar quantos possíveis grupos existem é a seguinte:
Primeiro escolhemos um lider, temos n opções para isso. Há duas possibilidades para cada pessoa restante: ou faz parte do grupo, ou não faz. Pelo principio multiplicativo, concluímos que existem \(n \cdot 2^{n-1} \) maneiras de formar tal grupo

Outra maneira de fazer essa contagem é a seguinte: Digamos que o grupo terá p pessoas. Primeiro escolhemos p dentre as n pessoas da equipe. Podemos fazer isso de \(\displaystyle \binom np\) maneiras. Após isso, escolhemos dentre essas pessoas qual será o lider. Podemos fazer isso de p maneiras. Logo, o número de maneiras de formar um grupo com p pessoas é \(p \binom np\). Como um grupo pode ter 1, 2, 3, ..., n-1 ou n pessoas, segue que o total de possibilidade para formar um grupo é \(\displaystyle \binom n1 + 2 \binom n2 + 3 \binom n3 + \cdots + n \binom nn\)

Assim, concluímos que

\(  \displaystyle \binom n1 + 2 \binom n2 + 3 \binom n3 + \cdots + n \binom nn = n \cdot 2^{n-1}\)

Lipo_f escreveu:Some ao contrário rs. Antes escreva 0Cn,0
Daí:
S = 0Cn,0 + 1Cn,1 + ... + nCn,n
S = nCn,n + (n-1)Cn,n-1 + ... + 0Cn,0
Como Cn,k = Cn,n-k
S = nCn,0 + (n-1)Cn,1 + ... + 0Cn,n
Daí soma esse povo todo, o coeficiente sempre vai dar k + n-k = n: 2S = n[Cn,0 + Cn,1 + ... + Cn,n]. Do teorema das linhas, 2S = n 2^n => S = n 2^(n-1).

Obrigada!!

DaoSeek escreveu:Vou fazer de duas outras formas:

1ª forma:

Reparamos a seguinte propriedade (conhecida como fórmula de absorção):
\(  \displaystyle p \binom np = p \cdot \dfrac{n!}{(n-p)!p!} = n \cdot \dfrac{(n-1)!}{(n-p)!(p-1)!} = n \binom{n-1}{p-1}\)

Logo ficamos com:

\( \displaystyle S = \binom n1 + 2 \binom n2 + 3 \binom n3 + \cdots +  n \binom nn  \implies  \)

\(\displaystyle S = n\binom{n-1}{0} + n \binom{n-1}1 + n \binom{n-1}{2} + \cdots + n \binom {n-1}{n-1} \implies \)

\(\displaystyle S = n \left[ \binom{n-1}{0} +  \binom{n-1}1 +  \binom{n-1}{2} + \cdots + \binom {n-1}{n-1} \right] \)

Usando que \( \displaystyle \binom k0 + \binom k1 +  \cdots + \binom kk = 2^k\)  (teorema das linhas) segue que \( S = n2^{n-1}\)

2ª forma: Vamos dar uma interpretação combinatória.

Digamos que temos n pessoas em uma equipe e vamos selecionar um grupo dentre essas pessoas para realizar uma tarefa. Esse grupo necessariamente precisa ter um lider (em particular é não vazio).

Uma maneira de contar quantos possíveis grupos existem é a seguinte:
Primeiro escolhemos um lider, temos n opções para isso. Há duas possibilidades para cada pessoa restante: ou faz parte do grupo, ou não faz. Pelo principio multiplicativo, concluímos que existem \(n \cdot 2^{n-1} \) maneiras de formar tal grupo

Outra maneira de fazer essa contagem é a seguinte: Digamos que o grupo terá p pessoas. Primeiro escolhemos p dentre as n pessoas da equipe. Podemos fazer isso de \(\displaystyle \binom np\) maneiras. Após isso, escolhemos dentre essas pessoas qual será o lider. Podemos fazer isso de p maneiras. Logo, o número de maneiras de formar um grupo com p pessoas é \(p \binom np\). Como um grupo pode ter 1, 2, 3, ..., n-1 ou n pessoas, segue que o total de possibilidade para formar um grupo é \(\displaystyle \binom n1 + 2 \binom n2 + 3 \binom n3 + \cdots + n \binom nn\)

Assim, concluímos que

\(  \displaystyle \binom n1 + 2 \binom n2 + 3 \binom n3 + \cdots + n \binom nn = n \cdot 2^{n-1}\)

Muito obrigada!!

Queria entender o que vc fez na segunda linha da conta (na 1 forma). Vc aplicou a fórmula de absorção certo? Mas por que ficou 

[latex]n . \binom{n-1}{0} + n . \binom{n-1}{1} + ... + n . \binom{n-1}{n-1}[/latex]

e não

[latex]n . \binom{n-1}{0} + 2n . \binom{n-1}{1} + ... + n^2 . \binom{n-1}{n-1}[/latex]

Mais uma vez, obrigada!

laura_siqs escreveu:Muito obrigada!!

Queria entender o que vc fez na segunda linha da conta (na 1 forma). Vc aplicou a fórmula de absorção certo? Mas por que ficou 

[latex]n . \binom{n-1}{0} + n . \binom{n-1}{1} + ... + n . \binom{n-1}{n-1}[/latex]

e não

[latex]n . \binom{n-1}{0} + 2n . \binom{n-1}{1} + ... + n^2 . \binom{n-1}{n-1}[/latex]

Mais uma vez, obrigada!

Olá,  a fórmula de absorção diz que:

\( \displaystyle p \binom np = n \binom{n-1}{p-1}\)

Repare que de um lado temos o n e do outro temos p. Daí por exemplo, para p = 5 ficamos com algo assim:

\(\displaystyle 5 \binom n5 = n \binom {n-1}{4}\)

Repare que o lado esquerdo da igualdade acima é uma parcela da soma que queremos calcular. O que fiz foi justamente aplicar a fórmula de absorção pra p = 1, 2, 3, etc, e trocar cada um desses termos por um outro que tem "n"

DaoSeek escreveu:
Olá,  a fórmula de absorção diz que:

\( \displaystyle p \binom np = n \binom{n-1}{p-1}\)

Repare que de um lado temos o n e do outro temos p. Daí por exemplo, para p = 5 ficamos com algo assim:

\(\displaystyle 5 \binom n5 = n \binom {n-1}{4}\)

Repare que o lado esquerdo da igualdade acima é uma parcela da soma que queremos calcular. O que fiz foi justamente aplicar a fórmula de absorção pra p = 1, 2, 3, etc, e trocar cada um desses termos por um outro que tem "n"

Entendi. Muito obrigada!!