inequação exponencial
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inequação exponencial
por giovannixaviermisselli Qui 01 Ago 2024, 16:34
(IEZZI) - Resolver a inequação:
e^(2x) - e^(x+1) - e^x + e < 0
gab: 0 < x < 1
e^(2x) - e^(x+1) - e^x + e < 0
gab: 0 < x < 1
giovannixaviermisselli- Jedi
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Re: inequação exponencial
por Leonardo Mariano Qui 01 Ago 2024, 22:10
Boa noite. Chamando e^x de y:
[latex] e^{2x} -e^{x + 1} - e^x + e < 0 \rightarrow y^2-ey-y+e<0 \rightarrow y^2 - y(e + 1) + e < 0 [/latex]
Ficamos com uma parábola, então encontrando as raízes para fazer a análise do sinal:
[latex] y = \frac{e + 1 \pm \sqrt{(-e - 1)^2 -4.1.e}}{2} =\frac{e + 1 \pm \sqrt{e^2 -2e + 1}}{2} = \frac{e + 1 \pm (e - 1)}{2} \therefore y = e \: \cup \: y = 1 [/latex]
Como a parábola tem concavidade para cima, precisamos que y esteja entre 1 e e. Substitua o valor de y e aplique o ln dos dois lados:
[latex] 1 < y < e \rightarrow 1 < e^x < e \rightarrow ln(1) < ln(e^x) < ln(e) \rightarrow 0 < x < 1 [/latex]
[latex] e^{2x} -e^{x + 1} - e^x + e < 0 \rightarrow y^2-ey-y+e<0 \rightarrow y^2 - y(e + 1) + e < 0 [/latex]
Ficamos com uma parábola, então encontrando as raízes para fazer a análise do sinal:
[latex] y = \frac{e + 1 \pm \sqrt{(-e - 1)^2 -4.1.e}}{2} =\frac{e + 1 \pm \sqrt{e^2 -2e + 1}}{2} = \frac{e + 1 \pm (e - 1)}{2} \therefore y = e \: \cup \: y = 1 [/latex]
Como a parábola tem concavidade para cima, precisamos que y esteja entre 1 e e. Substitua o valor de y e aplique o ln dos dois lados:
[latex] 1 < y < e \rightarrow 1 < e^x < e \rightarrow ln(1) < ln(e^x) < ln(e) \rightarrow 0 < x < 1 [/latex]
Leonardo Mariano- Monitor
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