Cônicas

por Eduardo3943 Sáb 15 Jun 2024, 10:29

(UF-BA) Dados os pontos [latex]P(-1,2)[/latex] e [latex]Q(1,2)[/latex], determine o par de coordenadas cartesianas de cada ponto S da parábola [latex]y=2x^2[/latex] , de abscissa [latex]x\neq \pm1[/latex], de modo que as retas SP e SQ sejam perpendiculares.

Gabarito:
[latex]S=(\sqrt6,12)[/latex] ou [latex]S=(-\sqrt6,12)[/latex]

Minha resolução:

[latex]S(x,2x^2), x\neq\pm1\\\\SP=r, SQ=s\\\\m_r=\frac{2x^2-2}{x+1},m_s=\frac{2x^2-2}{x-1}\\\\\\\frac{2x^2-2}{x+1}\cdot\frac{2x^2-2}{x-1}=-1\Rightarrow 4x^4-8x^2+4=-x^2+1 \Rightarrow4x^4-7x^2+3=0\\\\x =1,x=-1,x=\frac{\sqrt3}{2},x=-\frac{\sqrt3}{2}\\\\\\S(\frac{\sqrt3}{2},\frac{3}{2}), S(-\frac{\sqrt3}{2},\frac{3}{2})[/latex]

por **Giovana Martins** Sáb 15 Jun 2024, 10:45

Eduardo3943 escreveu:(UF-BA) Dados os pontos [latex]P(-1,2)[/latex] e [latex]Q(1,2)[/latex], determine o par de coordenadas cartesianas de cada ponto S da parábola [latex]y=2x^2[/latex] , de abscissa [latex]x\neq \pm1[/latex], de modo que as retas SP e SQ sejam perpendiculares.

Gabarito:
[latex]S=(\sqrt6,12)[/latex] ou [latex]S=(-\sqrt6,12)[/latex]

Minha resolução:

[latex]S(x,2x^2), x\neq\pm1\\\\SP=r, SQ=s\\\\m_r=\frac{2x^2-2}{x+1},m_s=\frac{2x^2-2}{x-1}\\\\\\\frac{2x^2-2}{x+1}\cdot\frac{2x^2-2}{x-1}=-1\Rightarrow 4x^4-8x^2+4=-x^2+1 \Rightarrow4x^4-7x^2+3=0\\\\x =1,x=-1,x=\frac{\sqrt3}{2},x=-\frac{\sqrt3}{2}\\\\\\S(\frac{\sqrt3}{2},\frac{3}{2}), S(-\frac{\sqrt3}{2},\frac{3}{2})[/latex]

Você está correto.

Para o gabarito fornecido os ângulos solicitados são menores que 90° tal que as retas SP e SQ não são perpendiculares entre si (ver segmentos roxos e vermelhos).

Agora, para os valores que você calculou, as retas SP e SQ são perpendiculares (ver retas verdes).

Veja: Clique aqui.

por **Elcioschin** Sáb 15 Jun 2024, 10:58

Eu concordo com a Giovana e sua solução e discordo do gabarito.
Infelizmente não consegui abrir a figura da Giovana.
Basta desenhar, num sistema xOy, a parábola y = 2.x² e plotar os dois pontos S do gabarito para ver que SP e SQ não são perpendiculares!

por **Giovana Martins** Sáb 15 Jun 2024, 11:00

Elcioschin escreveu:Eu concordo com a Giovana e sua solução e discordo do gabarito.
Infelizmente não consegui abrir a figura da Giovana.
Basta desenhar, num sistema xOy, a parábola y = 2.x² e plotar os dois pontos S do gabarito para ver que SP e SQ não são perpendiculares!

Desculpe, Élcio. É que minha imagem tinha ficado enorme, o que estava poluindo a visualização por isso apaguei, mas veja (clique em spoiler):