Colégio Naval 2015 - Quadriláteros

por TheRock02EN Qui 20 Jun 2024, 15:34

Sobre o lado BC do quadrado ABCD, marcam-se os pontos "E" e "F" tais que BE/BC =1/3 e CF/BC =1/4 . Sabendo-se que os segmentos AF e ED intersectam-se em "P", qual é, aproximadamente, o percentual da Área do triângulo BPE em relação à Área do quadrado ABCD?

a)2
b)3
c)4
d)5
e)6

Se puder resolver com a imagem da figura, agradeceria.
Gabarito: 5

por **Giovana Martins** Qui 20 Jun 2024, 17:22

\[\mathrm{\Delta EFP \sim \Delta ADP\ (Caso\ A.A.A)}\]

\[\mathrm{\frac{EF}{PM}=\frac{AD}{PN}\to \frac{5\ell }{12PM}=\frac{\ell }{PN}\ (i)}\]

\[\mathrm{Dado\ que\ PM+PN=\ell\ (ii)\ \therefore\ De\ (i)\ e\ (ii):(PM,PN)=\left ( \frac{5\ell}{17},\frac{12\ell}{17} \right )}\]

\[\mathrm{\frac{[BPE]}{[ABCD]}=\frac{1}{2}\times PM\times EB\times \frac{1}{\ell ^2}=\frac{1}{2}\times \frac{5\ell }{17}\times \frac{\ell}{3}\times \frac{1}{\ell ^2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{\frac{[BPE]}{[ABCD]}\approx 5\%}}}\]

por **Giovana Martins** Qui 20 Jun 2024, 17:35

Se houver dúvidas, avise.

Por favor, não utilize os comandos "citação múltipla" e "citação" fórum para não bugar a postagem.

Por algum motivo, quando eu posto a ilustração a partir do Geogebra, a integração Pir2 - Geogebra ainda não funciona muito bem.

por **Giovana Martins** Sáb 22 Jun 2024, 14:35

Boa tarde, TheRock. Por mensagem privada você me questionou sobre como eu encontrei os lados, CF, FE e BE. Vou postar aqui, pois pode ser que outras pessoas tenham a mesma dúvida.

Seja ℓ o lado do quadrado.

O enunciado nos diz que BE/BC = 1/3. Sendo BC = ℓ, logo, BE = ℓ/3.

O enunciado também nos informa que CF/BC = 1/4, logo, CF = ℓ/4.

Da figura: FE = BC - CF - BE = ℓ - (ℓ/4) - (ℓ/3) = 5ℓ/12.