Apostila FB logaritmos aprofundamento

Quantos números reais positivos x satisfazem a equação [latex]Co\log_{3x}(\frac{3}{x})+anti\log_3(x)=3[/latex] ?

Basta estudar o crescimento e decrescimento do membro esquerdo da igualdade. Para isso, definimos f como abaixo para x positivo e distinto de 1/3:

\( \displaystyle f(x)= \textrm{colog}_{3x} \left( \dfrac 3x \right) +  \textrm{antilog}_3(x) = \log_{3x} \left( \dfrac x 3 \right) + 3^x \)

mudando os logaritmos pra base 3 ficamos com:

\( \displaystyle f(x) = \dfrac{\log_3 x - \log_3 3}{\log_3 x + \log_3 3} + 3^x =  1 - \dfrac{2}{\log_3x + 1} + 3^x \)

Como \( \log_3x \) é crescente segue que  \( -\dfrac{2}{\log_3x + 1}\) é crescente nos intervalos onde o denominador não se anula. Como a exponencial também é crescente, isso implica que f é crescente em cada um dos intervalos (0,1/3) e (1/3, +∞).

Para concluir, observamos que \( -\dfrac{2}{\log_3x + 1}\) tende a +∞ (respectivamente - ∞ ) quando x se aproxima de 1/3 pela esquerda (respectivamente, direita). Além disso, \(3^x\) vai para +∞ quando x cresce e \(f(x) \to 2\) quando x tende a 0. Visto que f é continua nos intervalos onde está definida, pelo teorema do valor intermediário, existem exatamente duas raízes para equação f(x) = 3, uma em (0,1/3) e outra em (1/3, +∞).