Apostila FB logaritmos aprofundamento

Resolva o sistema de equações:

[latex]\begin{bmatrix} log(x)\cdot log(x+y)=log(y)log(x-y) & \\ log(y)\cdot log(x+y)=log(x)log(x-y)& \end{bmatrix}[/latex]

Restrições dos logaritmandos:

x ≠ 0 e x > 0 ---> y ≠ 0 e y > 0 ---> x ≠ y

Dividindo a 1ª equação pela 2ª:

logx/logy = logy/logx ---> (logx)² = (logy)² ---> Temos duas possibilidades:

1) logx = logy ---> x = y --->não serve, pelas restrições

2) logx = - logy ---> logx = logy^-1 --> logx = log(1/y) ---> 

x = 1/y ---> x.y = 1 --> y = 1/x ---> I

Substituindo I na 1ª equação:

logx.log(x + 1/x) = log(1/x).log(x - 1/x) --->

logx.log[(x² + 1)/x] = - logx.log[(x² - 1)/x] ---> :logx

log[(x² + 1)/x] = - log[(x² - 1)/x] --->

log[(x² + 1)/x] = log[(x² - 1)/x]^-1 --->

log[(x² + 1)/x] = log[x/(x² - 1)] ---> 

(x² + 1)/x = x/(x² - 1) ---> (x² + 1).(x² - 1) = x² ---> (x²)² - x² - 1 = 0

Equação do 2º grau na variável x² 

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