Equação trigonométrica

por Manoel Zanghelini Ribeiro Sex 28 Abr 2023, 21:27

senx.cosx=senx/2
O modo certo de resolver a questão é cortando o senx? ou vou estar excluindo alguma raiz?

por **Giovana Martins** Sex 28 Abr 2023, 21:36

Se houver dúvidas, avise.

Ao cortar raízes você corre o risco de excluir raízes ou então realizar divisões por zero, o que não pode ocorrer.

Note que o enunciado não te disse nada quanto ao fato de as variáveis poderem assumir ou não o valor nulo. Não generalizemos, pois é melhor analisar caso a caso, mas nesta situação é melhor não sair "cortando" nada, especialmente em se tratando de equações trigonométricas.

Geralmente, em equações trigonométricas, o que deve ser feito é fatorar a expressão até você chegar em um produto nulo. Veja:

[latex]\\\mathrm{sin(x)cos(x)=\frac{1}{2}sin(x)\to sin(x)cos(x)-\frac{1}{2}sin(x)=0}\\\\ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ sin(x)\left [ cos(x)-\frac{1}{2} \right ]=0\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{sin(x)=0}\\ \mathrm{cos(x)=\frac{1}{2}} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Para\ sin(x)=0\to x=n\pi }\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Para\ cos(x)=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pm\pi +6n\pi}{3}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Logo:\ S=\left \{ n\pi , \frac{\pm\pi +6n\pi}{3},n\in \mathbb{Z} \right \}}[/latex]

por **Giovana Martins** Sex 28 Abr 2023, 21:40

Se você tivesse cortado sin(x), você teria perdido a solução npi.

por Manoel Zanghelini Ribeiro Sex 28 Abr 2023, 22:00

Giovana Martins escreveu:
Se houver dúvidas, avise.

Ao cortar raízes você corre o risco de excluir raízes ou então realizar divisões por zero, o que não pode ocorrer.

Note que o enunciado não te disse nada quanto ao fato de as variáveis poderem assumir ou não o valor nulo. Não generalizemos, pois é melhor analisar caso a caso, mas nesta situação é melhor não sair "cortando" nada, especialmente em se tratando de equações trigonométricas.

Geralmente, em equações trigonométricas, o que deve ser feito é fatorar a expressão até você chegar em um produto nulo. Veja:

[latex]\\\mathrm{sin(x)cos(x)=\frac{1}{2}sin(x)\to sin(x)cos(x)-\frac{1}{2}sin(x)=0}\\\\ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ sin(x)\left [ cos(x)-\frac{1}{2} \right ]=0\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{sin(x)=0}\\ \mathrm{cos(x)=\frac{1}{2}} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Para\ sin(x)=0\to x=n\pi }\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Para\ cos(x)=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pm\pi +6n\pi}{3}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Logo:\ S=\left \{ n\pi , \frac{\pm\pi +6n\pi}{3},n\in \mathbb{Z} \right \}}[/latex]

por Manoel Zanghelini Ribeiro Sex 28 Abr 2023, 22:01

Muito obrigado, eu esqueci de citar que a equação estava limitada em (0,2pi). Portanto a soma das raízes daria 3pi, correto?

por **Giovana Martins** Sex 28 Abr 2023, 22:06

Com a restrição o exemplo acaba ficando melhor para ser sincera.

Veja que no intervalo de (0,2pi) sin(x) e cos(x) podem assumir o valor zero.

Por exemplo, nada impede que x assuma o valor x = 3pi/2 (digo isso, na situação em que você ainda não resolveu a equação e, consequentemente, você ainda não sabe qual o resultado final). Nesta situação, sin(3pi/2) = 0. Ou seja, então não podemos cortar a variável sin(x).

Mas retornando ao que você perguntou no último post, para o intervalo dado, vem:

sin(x) = 0, logo, x = pi

cos(x) = 1/2, logo, x = pi/3 e x = 5pi/3

A soma das raízes, portanto, é dada por 3pi.

por Manoel Zanghelini Ribeiro Sex 28 Abr 2023, 22:16

Muito obrigado novamente. Em minha prova não existia essa resposta, porém eu havia chegado no 3pi. Segundo meus professores o modo correto seria cortando, mas suspeitei desde o princípio que estava errado.