Soma de raízes com radicandos dessemelhantes

por Bellaeron Sáb 27 Abr 2024, 09:34

Bom dia a todos.
A questão pede: escreva cada uma das seguintes expressões como a soma ou diferença das raízes ou uma única fração quando possível.
Uma das que foi pedida é: [latex]3 \cdot \sqrt[3]{4} + 2 \cdot \sqrt[3]{3} + 3 \cdot \sqrt[3]{2}[/latex].

Como a multiplicação deve ser feita antes da adição, descartei a possibilidade de usar [latex]\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}[/latex] na [latex]\sqrt[3]{4}[/latex] e obter os termos semelhantes com a [latex]\sqrt[3]{2} [/latex]. No entanto, a única forma que vejo seria elevar tudo ao cubo e obter o racional 176, como se segue:

[latex]3 \cdot \sqrt[3]{4} + 2 \cdot \sqrt[3]{3} + 3 \cdot \sqrt[3]{2} \\ = 3^3 \cdot (\sqrt[3]{4})^3 + 2^3 \cdot (\sqrt[3]{3})^3 + 3^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 \\ = 3^3 \cdot 4 + 2^3 \cdot 3 + 3^3 \cdot 2 [(\sqrt[n]{a})^n = a] \\ = 27 \cdot 4 + 8 \cdot 3 + 27 \cdot 2 \\ = 98 + 24 + 54 \\ = 176[/latex]

Contudo, não sei se está correto essa elevação de tudo ao cubo e se isso mantêm mesmo a igualdade dos termos. Alguém poderia dar uma luz?

por **Elcioschin** Sáb 27 Abr 2024, 10:09

Não existe nenhuma equação na sua postagem pois não existe o sinal = (o que vc escreveu é apenas uma expressão matemática)
Você esqueceu de postar o enunciado da questão. Por favor, EDITe sua postagem.

por Bellaeron Sáb 27 Abr 2024, 10:21

Elcioschin escreveu:Não existe nenhuma equação na sua postagem pois não existe o sinal = (o que vc escreveu é apenas uma expressão matemática)
Você esqueceu de postar o enunciado da questão. Por favor, EDITe sua postagem.

Editado com o enunciado completo da questão.

por **Elcioschin** Sáb 27 Abr 2024, 12:45

O que vc fez não está correto. Eis porque, para uma igualdade:

2 + 4 = 6 ---> 2³ + 4³ = 6³ ---> 8 + 64 = 216 ---> 72 = 216 ---> Absurdo

O que se poderia fazer é (2 + 4)³ = 6³ ---> 2³ + 3.2².4 + 3.2.4² + 4³ = 216

8 + 48 + 96 + 64 = 216 ---> 216 = 216 ---> Ok

Um modo seria: ∛4 = ∛(2²) = ∛2.∛2

por Bellaeron Sáb 27 Abr 2024, 13:34

Elcioschin escreveu:O que vc fez não está correto. Eis porque, para uma igualdade:

2 + 4 = 6 ---> 2³ + 4³ = 6³ ---> 8 + 64 = 216 ---> 72 = 216 ---> Absurdo

O que se poderia fazer é (2 + 4)³ = 6³ ---> 2³ + 3.2².4 + 3.2.4² + 4³ = 216

8 + 48 + 96 + 64 = 216 ---> 216 = 216 ---> Ok

Um modo seria: ∛4 = ∛(2²) = ∛2.∛2

Agradeço imensamente, Elcioschin.
Cheguei a essa conclusão, pois lembrei que multiplicar é igual a adicionar, de certa maneira:

[latex] 3 \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{3} + 3 \sqrt[3]{2} \\ = 3 \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{2} + 2 \sqrt[3]{3} + 3 \sqrt[3]{2} \\ = 4 \sqrt[3]{2} + 2 \sqrt[3]{3} + 3 \sqrt[3]{2} \\ = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} \\ = 7 \sqrt[3]{2} + 2 \sqrt[3]{3}[/latex]

Caso tenha algum problema nessa resposta, agradeço se me apontarem.

por **Elcioschin** Sáb 27 Abr 2024, 18:09

Você poderia ter evitado a sua penúltima linha:

4.∛2 + 2.∛3 + 3.∛2 ---> Somando as verdes:

7.∛2 + 2.∛3 ---> Se quiser transformar em apenas duas raízes:

7.∛2 + 2.∛3 = ∛(7³).∛2 + ∛(2³).∛3 = ∛(7³.2) + ∛(2³.2) = ∛(686) + ∛(16)

por Bellaeron Dom 28 Abr 2024, 06:52

Perfeito, Elcioschin.
Eu coloquei a penúltima linha pois como estou numa etapa de aprendizado, visualizar o processo todo (para mim) precede pular as etapas e facilita bastante.
A transformação em apenas duas raízes é muito interessante. Realmente, [latex]7 = \sqrt[3]{7^3}[/latex] e [latex]2 = \sqrt[3]{2^3}[/latex].
Agradeço mais uma vez, foi de grande ajuda.

por **Elcioschin** Dom 28 Abr 2024, 10:42

Um modo fácil para vc visualizar:

4.∛2 + 3.∛2

Você pode chamar ∛2 de laranja (por exemplo)

4 laranjas + 3 laranjas = 7 laranjas = 7.∛2

Ou então, vc pode colocar em evidência: 4.∛2 + 3.∛2 = (4 + 3).∛2 = 7.∛2

No final, o que se faz é levar o que está fora da raiz para dentro da raiz:

Se fosse a.√b ---> √(a².b)

Para a.∛b ---> ∛(a³.b)

E assim por diante