[Probabilidade - EPCAR]

Cada uma das duas caixas contém bolas de gude pretas e brancas, e o número total de bolas de gude nas duas caixas é 25. Uma bola de gude é retirada de cada caixa aleatoriamente. A probabilidade de que ambas as bolinhas sejam pretas é 27/50, e a probabilidade de que ambas as bolinhas sejam brancas é m/n, onde m e n são números inteiros positivos primos entre si. Qual o valor de m∙n? 

a) 5
b) 10 
c) 15 
d) 25

gabarito:

Caixa 1:

* x: número de bolas pretas
* k: total de bolas

Caixa 2:

* y: número de bolas pretas
* p: total de bolas

A probabilidade de sair ambas pretas é [latex]\frac{x}{k}. \frac{y}{p}=\frac{27}{50}[/latex].

Assim, k.p tem que ser múltiplo de 50. Como k + p = 25, temos que as únicas possibilidades para as caixas são 5 e 20 ou 10 e 15 bolas.

Considerando o primeiro caso, teríamos [latex]\frac{x}{5}. \frac{y}{20}=\frac{27}{50}[/latex], o que implica que x.y = 54.

Nas condições dadas, x = 3 e y = 18 bolas pretas. Logo, em cada caixa teria 2 bolas brancas.

A probabilidade de sair ambas brancas é [latex]\frac{2}{5}. \frac{2}{20}=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}=\frac{m}{n}[/latex].

Portanto, m.n = 25.

Levando em consideração o segundo caso, teríamos [latex]\frac{x}{10}. \frac{y}{15}=\frac{27}{50}[/latex], o que implica que x.y = 81, onde o único caso que serve é x = 9 e y = 9 bolas pretas. Assim, temos nas caixas, 1 e 6 bolas brancas, respectivamente.

A probabilidade de sair ambas brancas é [latex]\frac{1}{10}. \frac{6}{15}=\frac{6}{150}=\frac{1}{25}=\frac{m}{n}[/latex], de onde vem que, m.n = 25.

De qualquer forma a resposta é a letra D.

Muito obrigado pela ajuda, colega. Excelente resolução, compreendi perfeitamente.