Propriedade e função

por LMaciel Qua 23 Fev 2022, 17:13

Determine se existe uma função injetora f: R -> R com a propriedade: [latex]f(x^{2}) +f^{2}(x) \geq \frac{1}{4}[/latex]

por aitchrpi Qua 23 Fev 2022, 18:33

Se f(x) = x + 1, então f(x²) = x² + 1 e f²(x) = x² + 2x + 1.

Se f é injetora, então para todo a, b pertencentes aos reais, se f(a) = f(b), a = b. Assim, f é injetora, já que se a + 1 = b + 1, a = b.

O minimo de g(x) = 2x² + 2x + 2 ocorre quando g(x)' = 4x + 2 = 0, ou seja, quando x = -1/2. Mas g(-1/2) = 2*1/4 - 1 + 2 = 1/2 + 1, que é maior do que 1/4. Logo, g(x) = f(x²) + f²(x) é sempre maior do que 1/4.

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