Geometria Plana

ABCD é um quadrilátero convexo de lados AB=a e CD=b, de modo que a medida do ângulo que o prolongamento desses dois lados formam seja igual a 45°. Calcule a área da região cujo perímetro é o lugar geométrico de todos os pontos médios dos segmentos cujos extremos estão em ̅AB e ̅CD respectivamente.

queria saber se o resultado bate com o meu, não sei o gabarito
meu:(ab√ 2)/8

minhas contas resultaram na área S = a.b/4.

Só um detalhe: esta é a área da região formada pelos pontos médios de TODOS os segmentos com extemos em AB e em CD. Note que não é apenas o perímetro.

como você calculou?

De todos os segmentos cujos extremos estão em AB e CD, o AD,AC,BC e BD são os mais "extremos" deles, então qualquer ponto médio de um segmento que saia de qualquer um dos vértices do quadrilátero estará no perímetro do paralelogramo MKND.

 O problema é que eu não sei como provar que todos os outros pontos estarão contidos nesse paralelogramo, me parece razoável dizer que isso acontece, então a área seria (a/2).(b/2).sen(45)=(ab√ 2)/8


Se vc testar alguns, dá para ver que caem dentro dele, eu só não tenho certeza, pode ser óbvio o porquê, só não estou percebendo.

você tem razão, Dimizkaz. Sua conta está certa e a minha errada. Na formação do desenho fiz igual você; e aqui faço uma retificação da minha mensagem anterior: os pontos médios realmente formam o perímetro e NÃO a área como havia açodadamente comentado antes. Mas vamos por partes.



Q e S, pontos médios de AD e BC respectivamente, são dois pontos da figura a ser formada.
P é ponto médio da diagonal AC e os triângulos APQ e ACD são semelhantes. Fixando-se o ponto A e a partir dele traçando vários segmentos com término no b, AC₁, AC₂, ... AC_n teremos respectivamente os triângulos APP₁ semelhante a ACC₁, AP₁P₂ semelhante a AC₁C₂, ..., de tal forma que os pontos médios dos segmentos entre A e b formam o segmento PQ paralelo a CD.

Analogamente, fixando-se no ponto D e excursionando através de a obtemos o segmento QR, paralelo a AB. Mesma coisa para a formação de RS, paralelo a CD, e para SP, paralelo a AB.

Portanto PQRS é um paralelogramo de lados a/2 e b/2; e com, conforme você indicou, dois ângulos internos de 45º.

Meu erro foi calcular a área pela fórmula de Brahmagupta esquecendo que ela só vale para quadriláteros inscritíveis, e este não é o caso pois um paralelogramo nunca o é. Só para deixar registrado, vou mostrar o que fiz:

considerando o quadrilátero PQRS, o semiperímetro é --> p = (a/2 + a/2 + b/2 + b/2)/2 -----> p = (a + b)/2

e conforme Brahmagupta a área (seria) -----> [latex]S=\sqrt{(p-PQ).(p-QR).(p-RS).(p-SP)}[/latex]

que ficaria ---> [latex]S=\sqrt{\frac{b}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{a}{2}} = \frac{a.b}{4}[/latex]