MHS - Plano Inclinado

Calcule a frequência angular do sistema abaixo, no qual uma mola de constante elástica K
prende um bloco de massa m a uma cunha de massa M e inclinação θ. Despreze o atrito entre
todas as superfícies envolvidas.

Gabarito:

No equilíbrio:
[latex]Kx = mgsen\theta[/latex]


Deslocando [latex]\Delta x[/latex] na mola:
Na cunha:



[latex]k\left ( \Delta x + x \right )cos \theta - N sen\theta = Ma_x[/latex]


No referencial da cunha o bloco de massa m está em repouso no direção normal entre os dois.
Na mudança de referencial devemos adicionar uma força de magnitude [latex]ma_x[/latex] ao bloco.




[latex]ma_xsen\theta + mgcos\theta = N[/latex]


Logo,  [latex]ma_xsen\theta + mgcos\theta = \frac{k\left ( \Delta x + x \right )cos \theta - Ma_x }{sen\theta}\Rightarrow a_x = \frac{kcos\theta\Delta x}{msen^{2}\theta + M}
\\[/latex]


Finalmente, 
[latex]ma = ma_xcos\theta + k\left ( x + \Delta x \right ) - mgsen\theta = 
\\ 
[/latex]
[latex]
ma_xcos\theta + k \Delta x = m\frac{kcos^{2}\theta\Delta x}{msen^{2}\theta + M} + k\Delta x = 
\\ 
[/latex]
[latex]
\frac{mkcos^{2}\theta\Delta x + mksen^{2}\theta\Delta + Mk\Delta x}{msen^{2}\theta + M} = \frac{mk\Delta x+ Mk\Delta x}{msen^{2}\theta + M} \Rightarrow 
\\
[/latex]
[latex]
 a = \Delta x\frac{mk+ Mk}{m\left (msen^{2}\theta + M \right )} \Rightarrow w = \sqrt{\frac{mk+ Mk}{m\left (msen^{2}\theta + M \right )}}[/latex]