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EN 2009:Triângulo de Pascal e um pouco de trigonometria

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Mensagem por AlvaroLSL Seg 13 Abr 2020, 15:14

O raio de uma esfera em dm é igual a posição ocupada pelo termo independente de x no desenvolvimento de (25^{\frac{1}{2}(sen^{2}\frac{x}{2})}+ 5^{1+cos x})^{54} quando consideramos as potências de expoentes decrescentes de 25^{\frac{1}{2}(sen^{2}\frac{x}{2})} . Quanto mede a área da superfície da esfera?
a) 10,24π m²
b) 115600π cm²
c) 1444π dm²
d) 1296π dm²
e) 19,36π m²
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Mensagem por AlvaroLSL Seg 13 Abr 2020, 15:16

Desejo saber se essa explicação está confusa.

"Pelo cosseno do arco duplo, tem-se que: cos x = cos^{2}\frac{x}{2} - sen^{2}\frac{x}{2} = -2 sen^{2}\frac{x}{2} + 1. Logo,
1 + cos x  = -2 sen^{2}\frac{x}{2} + 2.
Desse modo, a equação (25^{\frac{1}{2}(sen^{2}\frac{x}{2})}+ 5^{1+cos x})^{54} pode ser escrita como: ((5^{2})^{\frac{1}{2}(sen^{2}\frac{x}{2})}+ 5^{-2 sen^{2}\frac{x}{2} + 2})^{54} , que é o mesmo que (5^{sen^{2}\frac{x}{2}}+ 5^{-2 sen^{2}\frac{x}{2} + 2})^{54}.

Note que o  termo independente de x irá ocorrer quando o primeiro termo estiver elevado numa proporção de 2:1 em relação ao segundo termo.
Como o expoente máximo é 54, então o primeiro estará elevado a 36 potência enquanto o segundo estará elevado a 18 potência. Ou seja,
K.(5^{sen^{2}\frac{x}{2}})^{36}.(5^{-2 sen^{2}\frac{x}{2} + 2})^{18} = K.(5^{36sen^{2}\frac{x}{2}})((5^{-36 sen^{2}\frac{x}{2} + 36})
\Rightarrow K.(5^{sen^{2}\frac{x}{2}})^{36}.(5^{-2 sen^{2}\frac{x}{2} + 2})^{18} =  K.(5^{36})
Assim, como o raio será é igual a posição ocupada pelo termo K.(5^{36}) de forma que esteja em potências decrescentes de (5^{sen^{2}\frac{x}{2}}, pode-se descobrir sua posição através do expoente do primeiro termo.

Como a posição 1 do primeiro termo representa 5^{54sen^{2}\frac{x}{2}}, a posição n do primeiro termo representa 5^{36sen^{2}\frac{x}{2}} e é sabido que os expoentes decrescem numa razão r constante e igual a -1, pode-se aplicar uma PA nos expoentes para descobrir n.

Assim, como An = A1 + (n-1)r ⇒ 36 = 54 + (n-1).(-1) ⇒ n = 18 + 1 = 19, já que n = raio da esfera, o raio da esfera é 19

Enfim, como a área da esfera = 4πR². Então a área desejada é 4π(19)² = 1444π dm²"


Última edição por AlvaroLSL em Seg 13 Abr 2020, 15:21, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Esqueci de uma parte)
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