Problema Indiano

No filme "O homem que conhecia o infinito" o matemático indiano Ramanujan comenta com o matemático inglês G.H. Hardy, entre 1914 e 1918, sobre a curiosidade do número 1729, visto num ônibus, no final do filme:

"Este número tem a característica de ser representado pela diferença entre dois cubos de números inteiros, de duas formas diferentes."

Quais são este cubos?

Mestre, seria isso aqui?

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

No mmc encontrei 91.19,que multiplicados da 1729.

a+b=91
a-b=19

a=55
b=36

55^2-36^2=1729

Leia de novo: .... diferença entre dois cubos  ....

Aplicando uma fatoração da subtração de dois cubos é possível chegar em um produto de duas equações. Chamando cada equação de Z e Y, é possível fazer com que 1729 possa ser escrito como o produto de dois números(de acordo com sua fatoração, 1729 = 7.13.19).

A^3-B^3=1729 \rightarrow (A-B)(A^2+AB+B^2) = 1729 \\  A - B = Y  \rightarrow B = A-Y\\  A^2+AB+B^2=Z \rightarrow A^2+AB+B^2-Z=0\\


Resolvendo a equação Z, sendo A a variável:

A = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4.1.(B^2 - Z)}}{2.1} \rightarrow 2A = -B \pm \sqrt{-3B^2 +4Z} \\ \rightarrow 2A=-(A-Y) \pm \sqrt{-3(A-Y)^2+4Z} \rightarrow (3A-Y)^2 = (\pm \sqrt{-3(A-Y)^2+4Z})^2  \\ \rightarrow 9A^2 -6YA +Y^2 = -3A^2 +6YA -3Y^2 + 4Z \rightarrow 12A^2 -12YA +4Y^2 -4Z = 0 \\ \rightarrow 3A^2 - 3YA +(Y^2-Z) = 0 \\
A = \frac{3Y \pm \sqrt{9Y^2 - 4.3.(Y^2-Z)}}{2.3}  \rightarrow A = \frac{3Y \pm \sqrt{-3Y^2 +12Z}}{6} 

Agora, de acordo com as possibilidades possíveis para os valores de Z e Y(7.13 e 19, 7 e 13.19, etc) podemos verificar qual gera um valor possível para A.
Fazendo isso eu encontrei duas combinações: Y = 19 e Z = 91(7.13); Y = 13 e Z = 133(7.19).
Para a primeira combinação:

 A = \frac{3.19 \pm \sqrt{-3(19)^2 +12.91}}{6} \rightarrow A = \frac{57 \pm 3}{6} \therefore A = 9 \: ou \:A=10 \\ B = A-Y \rightarrow B=A-19\rightarrow B = -10 \: ou \: B = -9 \: \\ S_1(A,B) = (9,-10) \\ S_2(A,B) = (10,-9)

Fazendo o mesmo com a outra combinação: 

 A = \frac{3.13 \pm \sqrt{-3(13)^2 +12.133}}{6} \rightarrow A = \frac{39 \pm 33}{6} \therefore A = 1 \: ou \:A=12 \\ B = A-Y \rightarrow B=A-13\rightarrow B = -12 \: ou \: B = -1 \: \\ S_3(A,B) = (1,-12) \\ S_4(A,B) = (12,-1)

Solução:

 S(A,B) = S_1 \cup S_2\cup S_3\cup S_4 =\left \{ (9,-10);(10,-9);(1,-12);(12,-1) \right \}

Seria isso Mestre Elcio?

Um outro modo parecido:

1729 = 7¹.13¹.19¹ ---> n = (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 8 divisores naturais

Pares de divisores: (1, 1729), (7, 247), (13, 133), (19, 91)

a³ - b³ = 1729 ---> (a - b).(a² + a.b + b²) = 1729

1) Par (1, 1729) --->

a - b = 1 ---> b = a - 1 

a² + a.b + b² = 1729 ---> a² + a.(a - 1) + (a - 1)² = 1729 --->

3.a² - 3.a - 1728 = 0 --> :3 ---> a² - a - 576 = 0 ---> Raízes irracionais

Basta testar os demais pares.