Problema - 4

por danjr5 Qui 14 Jan 2010, 21:38

Determinar três inteiros consecutivos tais que o primeiro seja divisível por um quadrado, o segundo por um cubo e o terceiro por uma quarta potência.

por **fantecele** Seg 28 maio 2018, 00:20

Sendo os números a, a+1 e a+2, para achar o valor de a basta resolver o sistema de congruências:

a ≡ 0 (mod 5²) (I)
a+1 ≡ 0 (mod 3³) (II)
a+2 ≡ 0 (mod 2^4) (III)

De (I) temos que a = 25t, substituindo em (II):

25t + 1 ≡ 0 (mod 27)
t + 13 ≡ 0 (mod 27)

Daqui tiramos que t = 27k - 13, substituindo no valor de a temos que a = 25(27k - 13) = 675k - 325, substituindo em (III):

675k - 325 + 2 ≡ 0 (mod 16)
675k - 323 ≡ 0 (mod 16)
3k - 3 ≡ 0 (mod 16)
-k + 1 ≡ 0 (mod 16)
k - 1 ≡ 0 (mod 16)

Daqui tiramos que k = 16z + 1, substituindo no valor de a iremos encontrar que a = 675(16z + 1) - 325 = 10800z + 350 com z pertencente aos inteiros.

Um exemplo seria tomando z = 0, daqui teríamos que a = 350 e dessa forma:

350 ≡ 0 (mod 25)
351 ≡ 0 (mod 27)
352 ≡ 0 (mod 16)

Poderia fazer também usando a ideia do teorema chinês do resto:

a ≡ 0 (mod 25)
a ≡ -1 (mod 27)

a ≡ -2 (mod 16)

c1 = 0 c2 = -1 c3 = -2
n1 = 25 n2 = 27 n3 = 16
N1 = 432 N2 = 400 N3 = 675
r1 r2 = -11 r3 = -5

ri.Ni + si.ni = 1

(-11).(400) + (163).(27) = 1
(-5).(675) + (211).16 = 1

Uma solução será x = r1.c1.N1 + r2.c2.N2 + r3.c3.N3 = r1.0.432 + (-11).(-1).400 + (-5).(-2).(675) = 11150.

11150 ≡ 0 (mod 25)
11151 ≡ 0 (mod 27)
11152 ≡ 0 (mod 16)

Problema - 4

Problema - 4

Re: Problema - 4

Um fórum livre e democrático.