Função Modular

por Oziel Ter 26 Dez 2017, 12:52

Seja a função real e de variável real definida por :

$Função Modular Gif$

[ltr]a) Determine D(f).

b) Faça o Gráfico de f.

c) Determine I(f).

Obs: Não tenho o gabarito, mas os meus cálculos chegaram á : a) x
≥1
, b) uma reta constante em y = 1 de x = [1,2[ e um reta crescente a partir de y = 1 e a partir de x = 2 , c) [1,+infinito).[/ltr]

por evandronunes Ter 26 Dez 2017, 14:30

O ponto que anula o módulo é 2. Logo, analisa-se para x ≥ 2 e x < 2.

Assim, para x ≥ 2, temos |x - 2| = x - 2. O domínio será dado por x + (x - 2) ≥ 0, logo x ≥ 1. Como x ≥ 2, o domínio será x ≥ 2 .

E,

y= \frac{1}{2}.\sqrt{2(x+x-2)}

2y= \sqrt{4x-4}

4y^2= 4x-4

x=y^2+1

O que representa uma parábola com eixo de simetria em y = 0. Domínio x ≥ 2 e imagem y ≥ 1.

Para x < 2, temos |x - 2| = -(x - 2). O domínio será dado por x + (-x + 2) ≥ 0, o que implica 2 ≥ 0, o que é verdadeiro para todo x < 2.

E,

y= \frac{1}{2}.\sqrt{2(x-x+2)}

2y= \sqrt{4}

2y= 2

y=1

O que representa uma reta. O domínio é x < 2 e imagem 1.

Portanto,

$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}.\sqrt{4x-4}, \ \ se \ x\geq2 \\ \ \ \ \ \ \ 1, \ \ \ \ \ \ \ \ se \ x<2 \end{cases}$

Logo,

a) D(f)= \mattbb{R}

b)

c) I(f)= \left \{ y \in \mattbb{R} \ | \ y \geq 1 \right \}

por biologiaéchato Qui 28 Dez 2017, 18:29

Tenho algumas dúvidas!

Na (a)

Para x>2 é positivo o módulo.
Para x<2 é negativo o módulo.

2(x+|x-2|)≥0
(x+|x-2|)≥0

Para x>2
2x-2≥0
x≥1, mas como é válido para x≥2, fazendo a intersecção temos:
D(f)=x≥2

Para x<2
(x-(x-2))≥0
x-x+2≥0
2≥0
Afirmação verdadeira, portanto válida para 2≥x.

Unindo as 2 soluções:
(x≥2) U (2≥x)
D(f)=R

Está certo como fiz?

A imagem não seria assim?
Dentro da raiz podem sair resultados ≥0, certo?

Portanto:
(1/2)*0=0

A imagem não seria todos números reais positivos(incluindo 0)?

Grato pela ajuda.
Forte abraço!

por evandronunes Qui 28 Dez 2017, 21:10

Para o domínio seu raciocínio está correto.

Agora, com relação a imagem não.

Observe que não existe x, tal que x + |x - 2| = 0, portanto, não pode ocorrer y = (1/2)*0.

Assim, para x < 2, a imagem é 1.

E, para x ≥ 2, temos:

x \geq 2

4x \geq 4.2

4x - 4 \geq 8 - 4

\sqrt{4x - 4} \geq \sqrt{4}

\frac{1}{2}.\sqrt{4x - 4} \geq \frac{1}{2}.\sqrt{4}

f(x) \geq 1

Unindo os dois casos, a imagem de f é y ≥ 1.

por biologiaéchato Qui 28 Dez 2017, 21:23

evandronunes escreveu:O ponto que anula o módulo é 2. Logo, analisa-se para x ≥ 2 e x < 2.

Assim, para x ≥ 2, temos |x - 2| = x - 2. O domínio será dado por x + (x - 2) ≥ 0, logo x ≥ 1. Como x ≥ 2, o domínio será x ≥ 2 .

E,

y= \frac{1}{2}.\sqrt{2(x+x-2)}

2y= \sqrt{4x-4}

4y^2= 4x-4

x=y^2+1

O que representa uma parábola com eixo de simetria em y = 0. Domínio x ≥ 2 e imagem y ≥ 1.

Para x < 2, temos |x - 2| = -(x - 2). O domínio será dado por x + (-x + 2) ≥ 0, o que implica 2 ≥ 0, o que é verdadeiro para todo x < 2.

E,

y= \frac{1}{2}.\sqrt{2(x-x+2)}

2y= \sqrt{4}

2y= 2

y=1

O que representa uma reta. O domínio é x < 2 e imagem 1.

Portanto,

$f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}.\sqrt{4x-4}, \ \ se \ x\geq2 \\ \ \ \ \ \ \ 1, \ \ \ \ \ \ \ \ se \ x<2 \end{cases}$

Logo,

a) D(f)= \mattbb{R}

b)

c) I(f)= \left \{ y \in \mattbb{R} \ | \ y \geq 1 \right \}

Queria entender os cálculos que você fez para obter a imagem.

por **Elcioschin** Qui 28 Dez 2017, 21:41

Basta dar valores para x e calcular os valores correspondentes de y. Por exemplo:

Para x = 3 ---> y = √2 ~= 1,4 ---> (3 ; 1,4)
Para x = 2 ---> y = 1 ---> (2 ; 1)
Para x = 1 ---> y = 1 ---> (2 ; 1)
E assim por diante

por evandronunes Qui 28 Dez 2017, 21:43

Duduu2525 escreveu:

Queria entender os cálculos que você fez para obter a imagem.

De qual parte você tem dúvida?

por biologiaéchato Qui 28 Dez 2017, 21:50

Sinceramente, em todo o procedimento.

Nunca calculei uma imagem de função mais "complexa", só sei calcular o básico mesmo, tipo f(x)=\/(x)+2, em que Im(f)=[2, +Infinito[

Grato pela ajuda.

por biologiaéchato Qui 28 Dez 2017, 21:53

Elcioschin escreveu:Basta dar valores para x e calcular os valores correspondentes de y. Por exemplo:

Para x = 3 ---> y = √2 ~= 1,4 ---> (3 ; 1,4)
Para x = 2 ---> y = 1 ---> (2 ; 1)
Para x = 1 ---> y = 1 ---> (2 ; 1)
E assim por diante

Essa é uma forma "experimental" de obter a imagem da função.
É o mesmo que jogar valores de x em uma equação, até conseguir sua solução, ao invés de recorrer á forma algébrica.