Função Modular

Quando uma função apresenta módulo, você sempre terá que analisar a função e consequentemente o seu gráfico nos pontos de x que anulam cada um dos módulos.

Nesse caso, tem-se apenas um módulo e ele anulasse para x = 2. Assim, o gráfico de f será uma "mistura" de dois gráficos, um para valores de x menores que 2 e outro para maiores que 2.

Agora, você tem que analisar as duas situações, levando em consideração as definições de módulo.

Para x < 2, temos que |x - 2| = - (x - 2). Logo,

f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{2.(x-x+2)} \ \ \Rightarrow \ \ f(x)=1

Portanto, não importa qual x você utiliza, se ele for menor do que 2, a imagem será sempre 1.

E o gráfico será 




Para x ≥ 2, temos que |x - 2| = x - 2. Logo,

f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{2.(x+x-2)} \ \ \Rightarrow \ \ f(x)= \sqrt{x-1}

Podemos determinar a imagem fazendo o seguinte processo:

x \geq 2

x-1 \geq 2-1

\sqrt{x-1} \geq \sqrt{1}

f(x) \geq 1

Portanto, não importa qual valor de x utilizamos, se ele for maior ou igual a 2, a sua imagem será igual ou maior que 1.

Para sabermos como é a "cara" desse gráfico para x ≥ 2, observe que f(x)= \sqrt{x-1} é a parte positiva do gráfico de x=y^2+1, que é uma parábola "deitada", como na figura abaixo.



Como nos interessa a parte que x ≥ 2, então o gráfico é:



Juntando os dois casos ( x < 2 e x ≥ 2), temos que a imagem I(f) = \left \{ y \in \mattbb{R} \ | \ y \geq 1 \right \} .

E o gráfico será aquele que postei na primeira resposta.

Muito bom, Evandro, só não captei muito bem a parte de x>2.

Assim também estaria correto:

Raciocinei assim:
A função f(x)=\/(x-1) tende a ter resultados maiores para y maior.

Substituindo 2(o menor resultado) na função:
f(x)=\/2-1
f(x)=\/1
f(x)=1

Como já disse, esse é o resultado "mínimo", portanto f(x) tende a ser maior e continuar até o infinito positivo.

Dessa forma, temos Im(f)=x>1 

Está certo meu raciocínio?
Grato pela ajuda!

Nessa frase "A função f(x)=\/(x-1) tende a ter resultados maiores para y maior."  o correto é "A função f(x)=\/(x-1) tende a ter resultados maiores para x maior.


O que é verdade, pois f é crescente.

É isso que quis dizer, foi um erro bobo, kkkk.
Mas meu raciocínio está correto?

Está correto.

Só ficaria difícil esboçar o gráfico, apenas sabendo que é crescente.

O gráfico não é a questão, apenas substituo pontos e o desenho.
Muito obrigado pela ajuda, Evandro, você me fez entender perfeitamente esse assunto.

Grande abraço e um Feliz 2018, amigo.
:tiv:

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