Números complexos

por Valéria Oliveira Qua 03 Jul 2024, 11:24

Se z1 e z2 são raízes de [latex]z + \bar{z} = 2\left | z - 1 \right | [/latex]

e [latex]arg (z1 - z2) = \frac{\Pi}{4}[/latex].

então a parte imaginária de z1 + z2 é igual a:

não tenho o gabarito...
alternativas:
a) 0
b) 1
c) -1
d) 2
e) -2

por **Elcioschin** Qua 03 Jul 2024, 12:30

Pelo sinal : no final do enunciado, parece que a questão tem alternativas.
Caso tenha, a postagem delas é obrigatória, pois faz parte do enunciado.

por RaulZ.I.T.O Sáb 06 Jul 2024, 11:47

Segue tentativa de resolução:

z = x + yi
w = x - yi (conjugado de z)

z + w = 2|z - 1| ---> (x + yi) + (x - yi) = 2|(x - 1) + yi| ---> 2x = 2|(x - 1) + yi|

x = |(x - 1) + yi| ---> x = [(x - 1)^2 + y^2)]^1/2 ---> x^2 = (x - 1)^2 + y^2

x^2 = x^2 -2x + 1 + y^2 ---> y^2 = 2x - 1 (I)

Arg(z1 - z2) = pi/4 pode ser interpretado como o conjunto de retas paralelas que interceptam a parábola obtida:

Arg(z1 - z2) = pi/4 --> tan(z1 - z2) = 1 --> x - y + k = 0 (II)

Agora, basta resolver o sistema:

y^2 = 2x - 1
y = x + k
----------------
x = (1 - k) +- sqrt(-2k) ---> y = 1 +- sqrt(-2k)

Somando os valores de y: y' + y'' = (1 + sqrt(-2k)) + (1 - sqrt(-2k)) = 2

Alternativa d)

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