Razão entre polinômios

Não faço ideia de como resolver a questão abaixo, agradeço se alguém puder resolver com o passo a passo.

Considerando os polinômios P(x) = x³ + 12x² + 36x e Q(x) = x^4 + 6x³ − 2x² − 12x, qual a expressão que representa a razão P(x)/Q(x) ?

A) 6/x-2
B) 49x/x-8
C) x+6/x-2
D) -6x/x+2
E) x+6/x2-2

Boa noite. Uma maneira é fatorar cada polinômio e depois efetuar a divisão:
P(x) = x³ + 12x² + 36x = x(x² + 12x + 36)
Por bhaskara, há uma raiz dupla em -6, logo:
P(x) = x(x + 6)².
Em Q(x):
Q(x) = x^4 + 6x³ − 2x² − 12x = x(x³ + 6x² -2x -12)
Testando as raízes racionais, encontramos que -6 é uma raiz, então fatorando o polinômio chegamos em:
Q(x) = x(x + 6)(x² -2)
Efetuando a divisão:
P(x)/Q(x) = [x(x + 6)²]/[x(x + 6)(x² - 2)] = (x + 6)/(x² - 2)

Claro. No estudo dos polinômios existe o chamado "Teorema das Raízes Racionais", ele afirma que quando temos um polinômio de coeficientes inteiros, caso este polinômio possua uma raiz racional da forma p/q, então p é um divisor do termo independente, e q é um divisor do coeficiente do termo de maior grau.
Por exemplo, no nosso caso:
Q(x) = x³ + 6x² -2x - 12
Se existir uma raiz racional, então p deve ser um divisor de 12 e q um divisor de 1.
Valores possíveis de p: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.
Valores possíveis de q: 1, -1.
Ou seja, acima temos todas as combinações possíveis de raízes racionais p/q que o polinômio pode ter, então podemos testar esses valores e ver se algum destes é raiz. No caso em específico, -6 é uma raiz.
Caso queira, pode dar uma procurada por "Teorema das Raízes Racionais", possui bastante explicação na internet.

Valeu, meu irmão! Eu devo ter visto isso uns 17 anos atrás pela última vez, e só estou precisando usar agora kkkk

Kkkkkkkkk, de nada. Alguma hora os conteúdos sempre aparecem , precisando estamos aqui.