Valor máximo

por Gustavo N Sex 05 Jul 2024, 17:01

Sabendo que x²+y²=31 e x³+y³=154, determine o maior valor real possível de x+y.
Gabarito: 7

Dúvida: Tem como resolver pela fatoração x+y=(x³+y³)/x²+y²-2xy ?

por **Giovana Martins** Sex 05 Jul 2024, 20:49

x³ + y³ = (x + y)(x² + y² - xy)

154 = (x + y)(31 - xy) (i)

Note que (x + y)³ = x³ + y³ + 3x²y + 3xy² = 154 + 3xy(x + y).

Da última igualdade encontramos: xy = [(x + y)³ - 154]/(3x + 3y) (ii).

Fazendo k = x + y, de (i) e (ii):

154 = k{31 - [(k³ - 154)/(3k)]}

O que equivale a k³ - 93k + 308 = (k - 4)(k - 7)(k + 11) = 0.

Ou então: k³ - 93k + 308 = (x + y - 4)(x + y - 7)(x + y + 11) = 0.

O maior valor de x + y é, portanto, x + y = 7.

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