Minimizar função

por phBorges_32 Qua 03 Jul 2024, 16:44

Determine os valores de x que minimizam a função
x^4+8x^3+22x^2+24x+9?

Gabarito:
x=-1 e x=-3

por **Giovana Martins** Qua 03 Jul 2024, 17:14

\[\mathrm{P(x) = x^4+8x^3+22x^2+24x+9\ \therefore\ \frac{dP(x)}{dx} = 4x^3+24x^2+44x+24\ \therefore\ \frac{d^2P(x)}{dx^2} = 12x^2+48x+44}\]

\[\mathrm{Pontos\ criticos\to \frac{dP(x)}{dx}=0\ \therefore\ x^3+6x^2+11x+6 = 0 \to ( x + 1 ) ( x+ 2 ) ( x+ 3 ) = 0 }\]

\[\mathrm{Pelo\ crit\acute{e}rio\ da\ segunda\ derivada:}\]

\[\mathrm{\left [ \frac{dP(x)}{dx} \right ]_{x = - 1} = 0\ e\ \left [ \frac{d^2P(x)}{dx^2} \right ]_{x=-1} = 8 > 0\ \therefore\ x = - 1\ \acute{e}\ ponto\ de\ minimo\ local}\]

\[\mathrm{\left [ \frac{dP(x)}{dx} \right ]_{ x = - 2 } = 0\ e\ \left [ \frac{d^2P(x)}{dx^2} \right ]_{ x = - 2 } = - 4 < 0\ \therefore\ x = - 2 \ \acute{e}\ ponto\ de\ m\acute{a}ximo\ local}\]

\[\mathrm{\left [ \frac{dP(x)}{dx} \right ]_{ x = - 3 } = 0\ e\ \left [ \frac{d^2P(x)}{dx^2} \right ]_{ x = - 3 } = 8 > 0\ \therefore\ x = - 3 \ \acute{e}\ ponto\ de\ minimo\ local}\]

por **Giovana Martins** Qua 03 Jul 2024, 17:27

Outro jeito e que eu acho que era o jeito que o autor da questão pensou que a questão seria resolvida, caso você esteja estudando para o nível do vestibular:

Por Briot - Ruffini e por inspeção de raízes você facilmente conclui que x = - 1 e x = - 3 são raízes duplas.

Deste modo, podemos escrever P(x) como P(x) = (x² + 4x + 3)².

Note que P(x) ≥ 0, ⩝ x ∈ ℝ. Sendo assim, o mínimo local de P(x) ocorre na raízes de P(x), quais sejam:

(x² + 4x + 3)² = 0

O que nos leva a x = - 1 e x = - 3, que são os pontos que minimizam P(x).