Polinômios 2

Sabendo-se que as raízes do polinômio p(x) = x² + bx + c são números inteiros, que b e c são positivos e que c é um número primo, pode-se afirmar que essas raízes: 

a) são números positivos primos
b) têm sinais opostos
c) são iguais
d)são negativas, e x= -1 é uma delas
e) são x=1 e x=-1

Gabarito letra D

A soma delas é um valor negativo (-b) e o produto é positivo (c). Isso só ocorre se as duas raízes forem negativas. Além disso, como o produto delas (c) é primo, ele possui como divisor só o 1 e ele mesmo. Logo, uma das raízes terá que ser "-c" e a outra "-1".

Não consegui compreender sua resolução, desculpe. Já que, o enunciado da questão afirma que B e C são positivos. Podes me explicar novamente por favor?

Sem problemas, vamos lá. Vamos chamar as raízes do polinômio p(x) de x₁ e x₂. Por Girard, teremos que:

\begin{cases}x_1+x_2=-b\\x_1.x_2=c\end{cases} \;com\;\;x_1,x_2,b,c\in\mathbb{Z}

Note que o produto deles é positivo, pois c é positivo. Isso só ocorre quando x₁ e x₂ possuem mesmo sinal (ou os dois são positivos ou são negativos).

Note que a soma deles é negativa, pois b é positivo. Isso só ocorre se pelo menos uma das raízes, x₁ ou x₂, é negativa.

Fazendo a interseção, teremos que as duas raízes deverão ser negativas.  

Agora vamos olhar para o fato de c ser primo. Se ele é primo, possui como únicos divisores o 1 e ele mesmo (cuidado, pois o número 1 não é primo, logo c≠1).

Como c = x₁.x₂, x₁ e x₂ são divisores de c. Porém, como c é primo e x₁ e x₂ são negativos, x₁ e x₂ só podem ser -1 ou menos ele mesmo (-c).

Muito obrigada, consegui!!!