Primitivas

por EstudanteCiencias Sáb 04 Mar 2017, 02:04

Seja f: R → R, derivavel e tal que para todo x, $f'(x)=\alpha .f(x)$ , (alfa) constante nao nula. Prove que existe uma constante "k", tal que, para todo x, $f(x)=k.e^{\alpha x}$ .

por **mauk03** Sáb 04 Mar 2017, 14:20

Seja y = f(x):
$f'(x)=\alpha f(x)\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\alpha y\Rightarrow \frac{dy}{y}=\alpha dx$

Integrando:
$\int \frac{dy}{y}=\alpha \int dx\Rightarrow \ln |y|=\alpha x+C\Rightarrow y=e^{\alpha x+C}=e^{C}e^{\alpha x}\Rightarrow y=ke^{\alpha x}$

por EstudanteCiencias Sáb 04 Mar 2017, 20:23

Nossa cara, é mesmo. Thanks!

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