Primitivas

por **Leonardo Sueiro** Dom 21 Jul 2013, 20:09

f'(x) = x^(-1/3)

resposta:

1,5*x^2/3 - 0,5 para x < 0 e 1,5*x^2/3 - 2,5 para x > 0

Não entendi o porquê de existirem duas respostas

por **Elcioschin** Dom 21 Jul 2013, 22:42

Nem eu entendi.
Parece que estão faltando dados no enunciado que permitam definir as constantes de integração.

por **Leonardo Sueiro** Dom 21 Jul 2013, 22:58

Desculpe Elcio. Existem esses dados extras que eu não coloquei no tópico:

f(1) = 1 e f(-1) = -1

Mas ainda assim não entendi essa resposta dupla. Eu pensei que era erro do gabarito, mas existe outro exercício semelhante:

f(x) = 10/x^9

RESPOSTA: -5/4X^8 + C1 para x < 0 e -5/4x^8 + C2 para x > 0

Nesse caso, a derivada é uma função ímpar, então a função original deveria ser par. Logo, os resultados deveriam ser simétricos em relação ao eixo x = 0.

Obs.: É do livro do James Stuart.

por **Elcioschin** Seg 22 Jul 2013, 12:17

Vamos lá , então

f '(x) = x^(-1/3)

f(x) = ∫f '(x)dx = ∫x^(-1/3)dx ----> f(x) = (3/2).x^(2/3) + C ----> f(x) = 1,5.x^(2/3) + C

f(1) = 1 ---> 1 = 1,5.1^(2/3) + C' ---> 1 = 1,5 + C' ---> C' = - 0,5 ---> f(x) = 1,5.x^(2/3) - 0,5

f(-1) = -1 ---> -1 = 1,5.(-1)^(2/3) + C" ---> -1 = 1,5 + C" ---> C" = - 2,5 ---> f(x) = 1,5.x^(2/3) - 2,5

por **Leonardo Sueiro** Seg 22 Jul 2013, 13:01

Mas por que as primitivas são diferentes para x > 0 e para x < 0 ?

Eu pensei no seguinte:

Tentei encontrar alguma coisa em comum entre ambas as funções (f(x) = 10/x^9
e f '(x) = x^(-1/3) ) que fizessem com que suas primitivas tivessem constantes diferentes para x > 0 e para x < 0.

Ambas possuem as seguintes características:
1)lim f(x) quando x -> 0+ = + infinito;
2)lim f(x) quando x -> 0- = - infinito.

Então, parece-me que há duas primitivas para podermos abrigar as funções definidas por parte:

POR EXEMPLO:

f(x) = 1,5.x^(2/3) + 40 para x > 0

f(x) = 1,5.x^(2/3) + 20 para x < 0

A derivada é igual, mas as primitivas são diferentes para x > 0 e para x < 0.

O caso em q ue ambas as primitivas são iguais é um caso particular dessa definição por partes.

Será que é isso?