primitivas

por *bebelo34 Seg 09 Mar 2015, 21:33

1) Determine a função cujo grafico passe pelo ponto (0,1) e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte
o eixo 0x no ponto de abscissa x+1

por Man Utd Qua 11 Mar 2015, 16:03

A reta tangente na abcissa "x" ou seja no ponto (x,f(x)) tem a forma:

$\\\\ \breve{y}-f(x)=f^{\prime}(x)*(\breve{x}-x) \\\\ \breve{y}=f^{\prime}(x)*(\breve{x}-x)+f(x)$

Como a reta passa por (x+1,0), logo :

$\\\\ 0=f^{\prime}(x)*(x+1-x)+f(x) \\\\ f^{\prime}(x)=-f(x)$

Resolvendo esta equação diferencial com condição inicial (0,1) , obtemos a resposta:

$\\\\ \frac{d f(x)}{dx}=-f(x) \\\\\\ \frac{d f(x)}{f(x)}=- \; dx \\\\\\ \ln f(x)=-x+K \\\\\\ f(x)=e^{-x}*K$

Como tem que atender a condição inicial (0,1) :

$\\\\\\ 1=K$

Então a solução é : $\\\\\\ f(x)=e^{-x}$

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