máximo divisor comum

por dibasi Sáb 03 Set 2016, 19:47

Dois tipos de caixa são usados numa fábrica para embalar bolas de futebol: a caixa A para 12 bolas e a caixa B para 24 bolas. Quantas caixas de cada tipo são necessárias para embalar 156 bolas de futebol? Determine todas as possíveis solu-
ções. Se a despesa de envio da caixa A é R$7,00 e a da caixa B é R$10,00, qual a solução mais econômica, usando os dois tipos de caixa?

por **ivomilton** Sáb 03 Set 2016, 22:45

dibasi escreveu:Dois tipos de caixa são usados numa fábrica para embalar bolas de futebol: a caixa A para 12 bolas e a caixa B para 24 bolas. Quantas caixas de cada tipo são necessárias para embalar 156 bolas de futebol? Determine todas as possíveis solu-
ções. Se a despesa de envio da caixa A é R$7,00 e a da caixa B é R$10,00, qual a solução mais econômica, usando os dois tipos de caixa?

Boa noite, dibasi.

A — 12 bolas
B — 24 bolas

12A + 24B = 156

Dividindo tudo por 12, vem:
A + 2B = 13

Trata-se de resolver a equação diofantina acima (duas incógnitas e apenas
uma equação, sendo as incógnitas números inteiros e positivos).

2B = 13 – A
B = 13/2 – A/2 = 12/2 + 1/2 – A/2 = 6 + (1-A)/2

Como B e A devem ser inteiros, também a fração final deverá produzir quociente inteiro. Faremos, então, igual a m essa fração:
(1-A)/2 = m
1-A = 2m
A = 1 – 2m

B = 6 + (1-A)/2 = 6 + [1 – (1-2m)]/2 = 6 + (1-1+2m)/2
B = 6 + m

A e B, além de inteiros, devem também ser positivos; portanto, fica:

A → 1 – 2m > 0 → 1 > 2m → 2m < 1 → m < ½ → m ≤ 0
B → 6 + m > 0 → m > -6

  Intersecção de m ≤ 0 com m >-6 fornece-nos:
m = -5, -4, -3, -2, -1, 0

Tabela das possíveis soluções e solução mais econômica:
m __ A=1-2m_ B=6+m _ Soma __ A*7 + B*10 _Total
-------------------------------------------------------------
-5 ____ 11 _______ 1 ____ 132+24 __11*7 + 1*10 = 87
  -4 _____ 9 _______ 2 ____ 108+48 ___9*7 + 2*10 = 83
  -3 _____ 7 _______ 3 _____ 84+72 ___7*7 + 3*10 = 79
  -2 _____ 5 _______ 4 _____ 60+96 ___5*7 + 4*10 = 75
-1 _____ 3 _______ 5 ____ 36+120 ___3*7 + 5*10 = 71
   0 _____ 1 _______ 6 ____ 12+144 ___1*7 + 6*10 = 67 → mais econômica

  6 Possíveis soluções:
  (A.B) = (11,1), (9,2), (7,3), (5,4), (3,5) e (1,6)

Solução mais econômica:
(A.B) = (1,6) = R$67,00

Um abraço.

por **Medeiros** Sáb 03 Set 2016, 23:26

Ivo

dentro de "todas as possíveis soluções" para embalar, há ainda uma outra possibilidade: 13 caixas A e nenhuma caixa B.

por **ivomilton** Dom 04 Set 2016, 11:35

Medeiros escreveu:Ivo

dentro de "todas as possíveis soluções" para embalar, há ainda uma outra possibilidade: 13 caixas A e nenhuma caixa B.

Bom dia, Medeiros.

Verdade. Esqueci da possibilidade de A ou B ser igual a zero.
Então, seriam 7 as possíveis soluções.
Quanto à mais econômica, continuaria a ser a que indiquei.
Muito obrigado por completar a solução.

Um abraço.

por **Medeiros** Dom 04 Set 2016, 21:00

Sem dúvidas, Ivo, você indicou a mais econômica pois a cada caixa B utilizada economizamos $4,00 relativamente às caixas A; então deve-se usar o máximo possível de caixas B.

Interessante que a expressão "utilizando os dois tipos de caixa" surge apenas na frase solicitando o envio mais econômico mas, como essa expressão fecha o enunciado, dá azo à interpretação que você utilizou.

Abraço.

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