Polinômio

Como descubro as raizes de x³ + 3x² -4x -12 = 0?

Imagino que deva fatorar; se possível, demonstrem para mim como fatorar esse polinômio.

Uma técnica é "chutar" valores.
Se x=0, temos que f(x)=x³+3x²-4x-12 será negativo.
Se x=1, teremos f(1) = 1³ + 3 - 4 - 12 = -12, será negativo.
Se x=2, teremos f(2)=8+12-8-12 = 0
Logo, 2 é raiz e podemos reescrever o polinômio como:
f(x)=(x-2)(x²+bx+c)=x³ + x² (-2 +b) + x (c - 2b) - 2c
Então, resolve-se um sistema:
-2 + b = 3 ---> b=5
c-2b = -4 ---> c =6
-2c = -12 ---> c=6
Logo, f(x)=(x-2)(x²+5x+6) = (x-2)(x+2)(x+3)

Por que reescreveu como (x-2)(x²+bx+c), Carlos?

E se não fosse chutar, que mais poderiamos fazer para fatorar o monstro?

Paciência, sou horrível nisso por enquanto.

Bem, chutar os valores é uma maneira que funciona devido à continuidade da função. Enfim, aprendemos isso em calculo 1 no ensino superior.
A continuidade da função diz que, se f(a) < 0, e f(b) > 0, então necessariamente existe uma raiz entre a e b. Tente desenhar uma função(sem tirar o lapis do papel) a qual passa do negativo ao positivo(ou vice versa) sem passar pelo zero, exatamente esse princípio.

O fato de chutar os valores baixos, indica temos chance de achar raizes. Por exemplo, se pegamos o valor de 0, e de (+1) e ambos deram negativo, isso não indica nada sobre a existência de raizes dentro, como por exemplo ter raizes (1/3) e (2/3). Por isso esperamos ter "sorte" de achar raizes dessa maneira.

O metodo é basicamente o seguinte:
1) É um polinômio de grau impar: se sim, há pelo menos uma raiz real, tentamos acha-la.
2) Se o polinômio é de grau impar, como x³+3x²-4x-12, para x=0 será negativo, para x muito grande, será um valor positivo. Logo, há pelo menos uma raiz entre 0 e +infinito.
Agora, se o polinômio é do modo x³+3x²-4x+12, então para x=0 será positivo, para x muito grande, será um valor positivo, para x muito negativo, será negativo. Logo, há pelo menos uma raiz entre - infinito e 0.

Infelizmente com métodos de ensino médio, é isso que temos à mão, além de usar multiplicidade(Por exemplo, temos o ultimo termo como (-12), então testamos raizes como (-12), (-6), (-4), (-3), (-2), (-1), 1, 2, 3, 4, 6 e 12).

Já com o uma abordagem do calculo, temos uma ferramenta: Derivada. Ela pode nos indicar quando a função muda de direção(isto é, quando a função está subindo ou descendo). Se ela não muda(não chega ao zero) em um determinado intervalo, então ela dificilmente terá raiz naquele intervalo. Mas se eu explicar a aplicação sem você saber utilizar não significará muito. Mas se souber derivar, então fale que eu mostro um pouco mais como fatorar usando essa ferramenta.
Existem outras ferramentas, mas ainda mais complexas e às vezes não são possíveis achar exatamente as raizes, mas sim aproximações muito boas para elas.

Nossa, mas a prova de onde vem esse polinômio não é famosa por ser difícil não, MUITO pelo contrário.

Se isso é fácil eu sou muito ruim em Matemática. Não existe alguma outra forma de retirar as raizes?

Eu sei derivar, mas só o básico do básico (para questões de posição/velocidade/aceleração em Física, por exemplo).

Pelo nível da prova a que esse polinômio pertence, creio que as três raizes deviam ser retiradas através de tentativa e erro mesmo.

Me tira uma dúvida: esse método de achar uma raiz no chute e as outras pelo sistema funciona sempre? Se funcionar, eu vou utilizá-lo.

Dificilmente as provas que farei irão por algum polinômio de resolução mais difícil que este, então, creio que o método citado por você - de achar uma raiz no chute - está ótimo para mim.

Valeu por tudo!

Christian

1) Dê uma lida na Teorema das Raízes Racionais em qualquer livro/apostila/internet:

Se um polinômio admitir raízes racionais, elas serão dadas pela relação entre os divisores inteiros do termo independente e os divisores inteiros do termo de maior grau.

Na tua questão termo independente = -12 e coeficiente do termo de maior grau = 1

Prováveis raízes racionais = ± 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 6/1, 12/1 = ± 1, 2, 3, 4, 6, 12

Testando descobre-se facilmente que x = 2 é uma raiz. Quanto às demais raízes, não sabemos se são (ou não) irracionais ou complexas. Como a equação é do terceiro grau, existem outros meios de descobrir as outras duas raízes (sem ser por tentativa):

1) Método dos coeficientes a determinar: foi o que o Carlos Adir usou

2) Método de Briott-Ruffini:

__|1 ... 3 .... -4 ...... -12
2 |1 ... 5 ..... 6 ........ 0

No quociente x² + 5x + 6 = 0 temos uma equação do 2o grau. Fácil solução.

3) Método da chave: divida x³ + 3x² - 4x - 12 por (x - 2) e chegue no mesmo quociente acima

Muito obrigado, Élcio. Vou quebrar a cabeça em cima desses métodos que você passou e fazer várias questões; tô muito ruim em algo muito simples.

PS: você acertou todas as raizes do polinômio fazendo a relação entre o termo independente e o termo de maior grau, já que todas elas são racionais.