[Escola Naval - 2015 - Funções]

por RamonLucas Dom 06 Set 2015, 21:25

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Amarela. Questão 7)

Sejam f e g funções reais definidas por $f(x)=\left\{\begin{matrix} 4x-3,se\, x\geqslant 0 & \\ x^{2}-3x+2,se\, x < 0 & \end{matrix}\right.$ $e\, \, g(x)=\left\{\begin{matrix} x+1,se\, x> 2 & \\ 1-x^{2},se\, x \leqslant 2 & \end{matrix}\right.$ . Sendo assim, pode-se dizer que $(f\, o\, g)\, (x)$ é definida por

(A) $(f\, o\, g)\, (x)=\left\{\begin{matrix} 4x+1,se\, x> 2 & & \\ 1-4x^{2},se-1\leqslant x \leqslant 1 & \\ x^{4}+x^{2},se\, x< -1\, ou\, 1< x\leqslant 2 & & \end{matrix}\right.$

(B) $(f\, o\, g)\, (x)=\left\{\begin{matrix} 4x-1,se\, x> 2 & & \\ 1-4x^{2},se-1\leqslant x < 1 & \\ x^{4}-x^{2},se\, x< -1\, ou\, 1\leqslant x\leqslant 2 & & \end{matrix}\right.$

(C) $(f\, o\, g)\, (x)=\left\{\begin{matrix} 4x+1,se\, x\geqslant 2 & & \\ 1-4x^{2},se-1< x < 1 & \\ x^{4}+x^{2},se\, x\leqslant -1\, ou\, 1\leqslant x< 2 & & \end{matrix}\right.$

(D) $(f\, o\, g)\, (x)=\left\{\begin{matrix} 4x+1,se\, x\geqslant 2 & & \\ 1-4x^{2},se-1< x \leqslant 1 & \\ x^{4}+x^{2},se\, x< -1\, ou\, 1< x< 2 & & \end{matrix}\right.$

(E) $(f\, o\, g)\, (x)=\left\{\begin{matrix} 4x+1,se\, x> 2 & & \\ -1-4x^{2},se-1\leqslant x < 1 & \\ x^{4}-x^{2},se\, x< -1\, ou\, 1\leqslant x\leqslant 2 & & \end{matrix}\right.$

por vieirasouza Dom 15 maio 2016, 15:24

alguem pode explicar cada passo?

por **laurorio** Dom 15 maio 2016, 21:43

Olá, vieirasouza

O domínio de f(g(x)) é o conjunto de todos os pontos x no domínio de g tais que g(x) está no domínio de f.

D(f(g(x)) = {x E D(g)/g(x) E D(f)}

Portanto:
Para (x+1), temos
D(g) = x>2     (1)

g(x) E D(f) ---> x+1 >= 0 ---> x>= -1      (2)

(1) int. (2): x>2

f(g(x)) = 4(x+1)-3 = 4x+1

Para a outra condição de f, temos:
x+1 < 0 ---> x<-1          e           x>2 ----> Perceba que a int. não existe.

Fazendo para g(x) = 1-x², vem:
1-x² >= 0           ---->    x>=1; x<= -1;    sendo x <= 2
-1 <= x <= 1

f(g(x)) = 4(1-x²)-3 = 1-4x²

Para f < 0, temos que:
1-x² < 0;          sendo x <= 2
x > 1 , x < -1 ---->    1 < x <= 2         ou        -1 < x
f(g(x)) = (1-x²)² - 3(1-x²) + 2 = x^4 - x²

por vieirasouza Dom 15 maio 2016, 23:35

lauro, desculpa mas não estou conseguindo entender.
meu problema está em julgar as inequações considerando as duas funções.
não sei como o fazer.
eu tenho que isolar o x das 2 funções e depois substituir os domínios de g na função f?
desculpa, mas não estou conseguindo lhe acompanhar

por vieirasouza Qui 26 maio 2016, 19:25

help ^

por **laurorio** Sáb 28 maio 2016, 23:14

"O domínio de f(g(x)) é o conjunto de todos os pontos x no domínio de g tais que g(x) está no domínio de f.

D(f(g(x)) = {x E D(g)/g(x) E D(f)}"

Você entendeu essa parte? Se sim, você entenderá todo o resto.