Prove que se um número irracional

Prove que se um número x é irracional positivo, então a raíz desse número é um número irracional

Até onde sei como todo número inteiro tem sua fatoração em números primos

concluímos que toda raiz quadrada inexata é um número irracional.

Seja p um número primo e p>1

Se (raiz) de p fosse racional então raiz de p = a/b com a e b primos entre si.

Então valeria que (raiz) de p = a/b <=> [(raiz)de p]² = [a/b]² <=> p = a²/b² <=> p*b² = a².

Logo a² seria divisível por p. Logo a é divisível por p, ou seja , a = r*p (r e Z)

Daí valeria que:

p²r² = pb² <=> pr² = b²

Sendo assim b também seria divisível por p.

O que é absurdo, pois a e b seriam ambos divisíveis por p e sendo assim a/b não seria fração irredutível.

Portanto (raiz) de p não seria racional e sim irracional.

Gostaria de saber se dessa forma ficaria certo.