Número irracional

Prove que √7 é um número irracional.

A prova clássica é essa aqui:

Suponha que existem p,q naturais não nulos tais que \( \displaystyle \dfrac pq = \sqrt 7\).

Temos então que p² = 7q². Pelo teorema fundamental da aritmética podemos decompor os numeros p² e 7q² em fatores primos e essa decomposição é única. Porém, em p² o fator 7 deverá aparecer um número par de vezes. Já em 7q² o fator 7 aparecerá um número impar de vezes.

Ou seja, não existem números inteiros p,q positivos tais que p² = 7q². Portanto, \(\sqrt 7\) é irracional


Há várias provas de que raiz de 2 é irracional em https://math.stackexchange.com/questions/5/how-can-you-prove-that-the-square-root-of-two-is-irrational
A maioria delas pode ser adaptada para raiz de 7

Penso em fazer um processo como o de Hípaso. Primeiro provando 7 | a² => 7 | a (que é o mesmo que provar 7 não divide a => 7 não divide a²).
7 não divide a => a = 7a' + a" (0 < a" < 7) => a² = 49a'² + 14a'a" + a"² = 7k + a"², bastando que 7 divida a"², que pode ser 1, 4, 9, 16, 25 ou 36 => 7 não divide a"².
Daí, o texto já pronto: sejam a, b inteiros tais que MDC(a,b) = 1. Se a/b = √7 <=> a² = 7b², logo 7 | a² => 7 | a = 7a' => 49a'² = 7b² <=> b² = 7a'² => 7 | b² => 7 | b = 7b', então mdc(a,b) não é 1, absurdo, então não há a e b inteiros, logo essa raiz é irracional.
(enviando porque já tinha escrito rs)