(SARESP) Número Irracional

(SARESP) Um exemplo de número irracional é:

A) 3,12121212...
B) 3,501501501...
C) 3,321321321...
D) 3,290291292293...

OBS.: Justifique sua resposta!

Olá,

Temos que:

"O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma ( a/b ) onde "a" é um número inteiro qualquer e "b" é um número inteiro qualquer diferente de zero."

Assim:

A) 3,12121212... = 3 + 0,12 + 0,0012 + 0,00000012 + ...... =>

0,12 + 0,0012 + 0,00000012 + ...... é a soma dos termos de uma P.G. ilimitada com a1 = 0,12 e

razão q = 1/100. Daí:

..................... a1 .......... 12/100 ...... 12..... 100..... 12
lim...Sn = ----------- = ----------- = ---- * ----- = ------
...n->oo .... 1 - 1/100....... 99/100 .....100 ..... 99 ......99

logo:
............................ 12...... 309
3,12121212... = 3 + ---- = ------ ( não é irracional )
.............................99........ 99


B) 3,501501501... = 3 + 0,501 + 0,000501 + 0,000000501 + .....=>

0,501 + 0,000501 + 0,000000501 + ..... é a soma dos termos de uma P.G. ilimitada com a1 = 0,501

e razão q = 1/1000. Daí:

................... 501/1000 ....... 501/1000 ...... 501 ...... 1000 ... 501
lim .....Sn = -------------- = ------------- = ------ * ----- = ------
...n->oo ...... 1 - (1/1000) ...... 999/1000 ......1000 ..... 999 ..... 999

Então:

3,501501501... = 3 + ( 501/999 ) = 3498/999 ( não é irracional )


C) 3,321321321... => procedendo de modo análogo aos itens A e B veremos que não é irracional pois podemos escrever o decimal como:

C) 3,321321321... = 3 + 0,321 + 0,000321 + .....

D) 3,290291292293... -> não é uma dízima preródica e portanto não podemos escrever o número dado como "a/b" (ver definição de números racionais) sendo, assim, um número irracional.

Um abraço.

Grato pela contribuição mestre José Carlos!
Forte abraço e Feliz Natal! (Roh, roh, roh... )
Aryleudo.

E se o número 3,290291292293... tiver o grupo 290291292293 repetindo?

Então será uma dízima periódica, portanto exite uma fração geratriz e consequentemente será um número racional e não um número irracional como o problema propõe!
Seu alerta é muito válido amigo, pois na questão não é feita nenhuma ressalva com relação ao período das dízimas periódicas apresentadas!
Forte abraço, feliz Natal e próspero Ano Novo para você e todos os familiares,
Aryleudo (para os amigos "Ary").

aryleudo escreveu:Então será uma dízima periódica, portanto exite uma fração geratriz e consequentemente será um número racional e não um número irracional como o problema propõe!
Seu alerta é muito válido amigo, pois na questão não é feita nenhuma ressalva com relação ao período das dízimas periódicas apresentadas!
Forte abraço, feliz Natal e próspero Ano Novo para você e todos os familiares,
Aryleudo (para os amigos "Ary").

Agradeço as felicitações e desejo um feliz Natal e sucesso nos próximos anos.
Um abraço.

Bem gente vendo os comentarios do mestre Sou da Paz surgiu uma inquietação em mim que gostaria de externar e se possível queria que fosse discutida entre os membros do fórum!
Trata-se de um problema conceitual em relação ao número "pi":
1° - Quando estamos estudando os conjuntos numéricos nos deparamos com o conjunto do racionais onde é dito Q = {a/b | a Є Z; b Є Z*};
2° - De repente surge o conjunto dos números irracionais onde é citado o número "pi" como um elemento pertencente a esse conjunto;
3° - Porém "pi" é definido com a razão entre o comprimento (perímetro) da circunferência pelo diâmetro da circunferência, em outras palavras C/d = "pi".

Ai é que surge minha dúvida, se "pi" é um número irracional como ele pode ser representado por uma fração?

Antecipadamente muito grato pela atenção,
Aryleudo.

Olá caros Aryleudo e Soudapaz,

Primeiramente quero desejar a ambos e familiares um Feliz Natal e um ótimo Ano Novo.

Achei interessante a observação feita pelo Soudapaz com relação a um suposto período para a classificação do número 3,290291292293...
Minha dúvida é:
Adotando-se este pensamento teríamos qualquer dízima como periódica e assim números racionais?

Quanto à definição do número "pi" pela fração C/d teríamos: C = 2*pi*R e d = 2*R

logo: um úmero irracional dividido por um racional o que daria um número irracional.

Prova de que "pi" é irracional -> Teorema de Lindemann-Weierstrass ( esse eu não entendi nadinha..rss )

Fonte: Wikipédia.

Um grande abraço.

Grao pelos esclarecimentos mestre José Carlos!
Tenha um ótimo Natal e Ano Novo repletos de saúde e realizações para você e todos os familiares!
Forte abraço,
Aryleudo.