W de Boltzmann, na entropia, devido a pares

por calotaspolares Sex 26 Abr 2024, 14:11

Oi, gente, é meu primeiro post no fórum, prazer a todos. Admito que pensei muito em fazer esse no tópico de Matemática ou Física, mas creio que aqui ele se encaixa melhor. O problema em questão é uma atividade proposta pelo meu professor de Física dos Semicondutores, e é apresentada da seguinte forma:

"Em uma rede contendo [latex]N_A[/latex] átomos do tipo A e [latex]N_B[/latex] átomos do tipo B, ache a densidade de defeitos intersitiais devido a pares em função da energia livre de Gibbs, temperatura e número de átomos [latex]N = N_a + N_b[/latex], no equilíbrio".

O meu problema está justamente em encontrar a energia livre de Gibbs, uma vez que a densidade de defeitos (creio eu), pode ser encontrada quando: [latex]\frac{\partial}{\partial n} \Delta G_{\text{def}} = 0[/latex]. Sabendo disso, vou apresentar mais informações.

Defeitos intersitiais são defeitos em cristais quando um átomo se encontra no lugar de outro, como se fosse uma troca. Para a troca acontecer (o defeito), o sistema precisa de uma diferença de energia livre de Gibbs, da seguinte forma: [latex]\Delta G_{\text{def}}=\Delta H_{\text{def}}-T\Delta S_{\text{def}}[/latex]

A Entalpia [latex]H = H_0 + nH_{\text{def}}[/latex] depende da entalpia no equilíbrio mais a entalpia do defeito vezes a densidade do mesmo, ela depende da Energia e das variáveis termodinâmicas; mas ela não é o meu maior dos inimigos. É a Entropia [latex]S_{\text{def}}=k_B\ln W[/latex]!

O que acontece, pegando um exemplo mais simples, se eu tenho uma rede diatômica (cujos átomo são intraindistinguíveis, mas não interindistinguíveis), um átomo [latex]A_{\lambda=1}[/latex], onde [latex]\lambda[/latex] é um índice de "lugar" do átomo na rede, pode trocar unicamente com todos os átomos do tipo [latex]B_\lambda[/latex]. A informação das configurações, ou seja, onde esse átomo A pode ocupar trocando com B, está contida na Entropia.

Esse é [latex]W[/latex] o W de Boltzmann, que representa as configurações possíveis de um sistema. Para o exemplo anterior que eu dei, é simples (normalizando que [latex]N_B=N-N_A[/latex]), seu valor é [latex]W = \binom{N}{N_A} = \frac{N!}{N_A!(N-N_A)}[/latex] , e, daí, aproxima-se por Stirling, minimiza-se Gibbs e eu tenho a densidade de defeitos. Mas o que me pega é o fato do defeito ser em pares!

Ou seja, um par de átomos A ocupa 2 lugares de átomos B em qualquer configuração, da mesma forma que dois pares de A podem ocupar 4 lugares de átomos B, e por aí vai até que o número de pares de A seja iguai ao número de pares de B, em que há apenas uma configuração (lembrando, a troca de sítios de átomos do mesmo tipo não alteram a rede, não são defeitos, já que eles são intraindistinguíveis)...

Vocês podem me ajudar? Ou me falar alguma referencia de como que eu acho essa combinação?

Muito obrigado desde já!

W de Boltzmann, na entropia, devido a pares

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