Função modular

Construa o gráfico de cada uma das funções de R em R definidas pelas leis seguintes:

a) y = |x² - 1|

Gabarito:

Repare que x² - 1 é positiva quando x > 1 ou quando x < -1. Isso significa que:

\( |x^2-1| = \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < - 1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 \le x \le 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x > 1\end{cases}
\)

Isso significa que pra fazer o gráfico, vc precisa desenhar um trecho da parábola y = x²-1 nos intervalos (-∞,-1) e (1, +∞). Já no intervalo [-1,1] vc desenha y = 1-x² (que basicamente é igual a y=x² - 1 de "cabeça pra baixo". Isso da a resposta indicada.

Você também pode ver isso geometricamente: Desenhe y = x²-1, e verifique que em alguns trechos o gráfico está acima do eixo x e noutros o gráfico está abaixo. Como queremos o módulo, basta refletir o trecho que estava abaixo do eixo x!!

DaoSeek escreveu:Repare que x² - 1 é positiva quando x > 1 ou quando x < -1. Isso significa que:

\( |x^2-1| = \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < - 1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 \le x \le 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x > 1\end{cases}
\)

Isso significa que pra fazer o gráfico, vc precisa desenhar um trecho da parábola y = x²-1 nos intervalos (-∞,-1) e (1, +∞). Já no intervalo [-1,1] vc desenha y = 1-x² (que basicamente é igual a y=x² - 1 de "cabeça pra baixo". Isso da a resposta indicada.

Você também pode ver isso geometricamente: Desenhe y = x²-1, e verifique que em alguns trechos o gráfico está acima do eixo x e noutros o gráfico está abaixo. Como queremos o módulo, basta refletir o trecho que estava abaixo do eixo x!!

Nossa eu tô apanhando muito em função modular. No livro do iezzi da coleção de 11 volumes ele detalha as especificidades de cada caso? Pq no livro de 3 volumes ele só ensinou que |x| < a então -a < x < a e se |x| > a então x < -a ou x > a e ensinou tbm que |x| = k então x = k ou x = -k. Mas só com isso não dá pra descobrir todas essas análises. Preciso de um livro novo

DaoSeek escreveu:Repare que x² - 1 é positiva quando x > 1 ou quando x < -1. Isso significa que:

\( |x^2-1| = \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < - 1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 \le x \le 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x > 1\end{cases}
\)

Isso significa que pra fazer o gráfico, vc precisa desenhar um trecho da parábola y = x²-1 nos intervalos (-∞,-1) e (1, +∞). Já no intervalo [-1,1] vc desenha y = 1-x² (que basicamente é igual a y=x² - 1 de "cabeça pra baixo". Isso da a resposta indicada.

Você também pode ver isso geometricamente: Desenhe y = x²-1, e verifique que em alguns trechos o gráfico está acima do eixo x e noutros o gráfico está abaixo. Como queremos o módulo, basta refletir o trecho que estava abaixo do eixo x!!

Eu entendi o q vc fez. Mas pq é errado dizer que x²-1 se x<= -1 ou x >= 1 e -x² + 1 se -1 < x < 1? Tem diferença?

brunoriboli escreveu:
Eu entendi o q vc fez. Mas pq é errado dizer que x²-1 se x<= -1 ou x >= 1 e -x² + 1 se -1 < x < 1? Tem diferença?

Não é errado não, está correto também. Isso acontece justamente porque nesses pontos o módulo é zero. Ou seja, 1-x² é o mesmo que x²-1 pra x  = 1 e x= -1, ambos dão zero!. Daí qualquer uma das formas abaixo está correta:

\( |x^2-1| = \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 \le x \le 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x > 1\end{cases}
\)

\( |x^2-1| =
 \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x \leq -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 < x < 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x \geq 1\end{cases}
\)

\( |x^2-1| =
 \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x \leq -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 < x \leq1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x > 1\end{cases}
\)

\( |x^2-1| =
 \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 \leq x < 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x \geq 1\end{cases}
\)


Ou se você quiser escrever algo assim, também está correto:


\( |x^2-1| = \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < - 1 \text { ou } x > 1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 < x < 1 \\
0, \text{ se } x = -1 \text { ou } x = 1
\end{cases}
\)

DaoSeek escreveu:

brunoriboli escreveu:
Eu entendi o q vc fez. Mas pq é errado dizer que x²-1 se x<= -1 ou x >= 1 e -x² + 1 se -1 < x < 1? Tem diferença?

Não é errado não, está correto também. Isso acontece justamente porque nesses pontos o módulo é zero. Ou seja, 1-x² é o mesmo que x²-1 pra x  = 1 e x= -1, ambos dão zero!. Daí qualquer uma das formas abaixo está correta:

\( |x^2-1| = \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 \le x \le 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x > 1\end{cases}
\)

\( |x^2-1| =
 \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x \leq -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 < x < 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x \geq 1\end{cases}
\)

\( |x^2-1| =
 \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x \leq -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 < x \leq1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x > 1\end{cases}
\)

\( |x^2-1| =
 \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < -1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 \leq x < 1 \\
x^2 - 1, \text{ se } x \geq 1\end{cases}
\)


Ou se você quiser escrever algo assim, também está correto:


\( |x^2-1| = \begin{cases}
x^2 - 1, \text{ se } x < - 1 \text { ou } x > 1 \\
1-x^2,  \text{ se } -1 < x < 1 \\
0, \text{ se } x = -1 \text { ou } x = 1
\end{cases}
\)

Muito obrigado. Vc me ajudou muito a resolver exercícios dessa forma.

brunoriboli escreveu:
Nossa eu tô apanhando muito em função modular. No livro do iezzi da coleção de 11 volumes ele detalha as especificidades de cada caso? Pq no livro de 3 volumes ele só ensinou que |x| < a então -a < x < a e se |x| > a então x < -a ou x > a e ensinou tbm  que |x| = k então x = k ou x = -k. Mas só com isso não dá pra descobrir todas essas análises. Preciso de um livro novo

Só agora que vi essa mensagem, me desculpe. Não lembro o que tem no iezzi especificamente, mas a definição é só essa mesmo. Certamente na coleção de 11 volumes tem mais exemplos, porém o essencial é essa definição. No caso o que ta pegando mais nessa questão é estudo do sinal de funções do segundo grau. Vou fazer aqui com mais detalhes:


Lembramos que a definição de módulo é:

\( |x| = \left\{ \begin{array}{ll}
x, & \text{ se } x \geq 0;\\
-x, & \text{ se } x < 0.
\end{array}\right. \)

Aplicando isso pra |x²-1| ficamos com (repare que -(x²-1) = 1-x²):
\( |x^2 -1| = \left\{ \begin{array}{ll}
x^2-1, & \text{ se } x^2-1 \geq 0;\\
1-x^2, & \text{ se } x^2-1 < 0.
\end{array}\right.\)

Mas o ponto agora é descobrir quando x²-1 é maior ou menor que zero. Isso é estudo do sinal de função do segundo grau. Feito isso, você descobre que x²-1 é positivo se x < -1 ou x > 1, vale zero para x = -1 ou x =1, e é negativo caso -1. Daí, ficamos com:

\( |x^2 -1| = \left\{ \begin{array}{ll}
x^2-1, & \text{ se } x\leq -1 \text{ ou } x \geq 1;\\
1-x^2, & \text{ se } -1 < x < 1.
\end{array}\right.\)

que é justamente o que eu tinha colocado antes.