Polinômio
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Polinômio
por giovannixaviermisselli Ter 20 Ago 2024, 18:40
(UFMA - 01) Encontre um polinômio P de grau quatro tal que P(1)=P(2)=P(3)=2
gab: x(x-1)(x-2)(x-3) + 2
gab: x(x-1)(x-2)(x-3) + 2
giovannixaviermisselli- Recebeu o sabre de luz
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Re: Polinômio
por Elcioschin Ter 20 Ago 2024, 19:31
Um possível caminho:
P(x) = x⁴ + a.x³ + b.x² + c.x + d
Para x = 1 --> P(1) = 1 + a + b + c + d = 2 ---> a + b + c + d = 1
Faça similar para x = 2 e x = 3 e resolva o sistema
P(x) = x⁴ + a.x³ + b.x² + c.x + d
Para x = 1 --> P(1) = 1 + a + b + c + d = 2 ---> a + b + c + d = 1
Faça similar para x = 2 e x = 3 e resolva o sistema
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Re: Polinômio
por scofield Ter 20 Ago 2024, 19:32
Buenas... usando a estratégia de polinômios auxiliares:
\[p(1)=p(2)=p(3)=2\\\therefore p(1)-2=0\;;\;p(2)-2=0\;;\;p(3)-2=0\]
Vamos definir um polinomio auxiliar, veja:
\[\boxed{p_{1}(x)\equiv p(x)-2}\]
Daí:
\[\left\{\begin{matrix}p_{1}(1)\equiv p(1)-2\equiv 0\\p_{1}(2)\equiv p(2)-2\equiv 0\\p_{1}(3)\equiv p(3)-2\equiv 0\end{matrix}\right.\]
Assim, podemos escrever:
\[p_{1}(x)=a\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\]
Portanto, atendendo ao comando da questão, o polinômio solicitado é:
\[\therefore p(x)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+2\]
scofield- Recebeu o sabre de luz
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