Complexo/trigonometria

por wadekly Seg 19 Ago 2024, 20:14

Calcular o produto dos 45 primeiros termos da sequência (cos1°+i.sen1º;cos2°+i.sen2º; cos3°+i.sen3º; cos4º+i.sen4°)

Spoiler:

Nem sei como começar esta questão... Alguma luz..?!

por **Giovana Martins** Seg 19 Ago 2024, 21:15

Por Euler: e^θi = cis(θ).

Assim, podemos escrever f(θ) = e^θie^2θie^3θi ·...· e^nθi = e^{θi(1 + 2 + 3 + ... + n)}.

A soma 1 + 2 + 3 + ... + n converge para [n(n + 1)]/2, logo, f(θ) = e^{θi{[n(n + 1)]/2}}.

Daqui concluímos que:

f(θ) = cis(θ)cis(2θ)cis(3θ) · ... · cis(nθ) = cis{[n(n + 1)θ]/2}.

Para n = 45 e θ = 1°: f(1°) = cis{[45 · (45 + 1)· 1°]/2} = cis(1035°) = (√2/2) - (√2/2)i.

Peço que confira as continhas, mas acho que há erro no gabarito.

por **Giovana Martins** Seg 19 Ago 2024, 21:28

Fiz uns ajustes no meio das contas, mas ainda chego em gabarito diferente.

Peço que acompanhe a resolução atentamente, porque estou mega cansada. Pode ser que eu tenha deixado passar algo.

por wadekly Seg 19 Ago 2024, 22:16

Giovana, imaginava que esta questão parecia sugerir uma P.G. (não sei se é o caso)... Você fez uma abordagem por Euler que, no meu entendimento, é mais evoluida... Irei estudar melhor a sua resposta e lhe retorno assim que eu estiver em condições... Grato pelo empenho... Desejo que tenha um excelente descanso...

por **Giovana Martins** Seg 19 Ago 2024, 22:24

wadekly escreveu:
Giovana, imaginava que esta questão parecia sugerir uma P.G. (não sei se é o caso)... Você fez uma abordagem por Euler que, no meu entendimento, é mais evoluida... Irei estudar melhor a sua resposta e lhe retorno assim que eu estiver em condições... Grato pelo empenho... Desejo que tenha um excelente descanso...

Tudo em paz. Ao longo da semana irei tentar mexer mais na questão para ver se eu consigo uma saída mais acessível, pois de fato não é comum os vestibulares cobrarem a abordagem via Euler. Fiz assim, pois foi a primeira coisa que veio à mente.

por **Elcioschin** Ter 20 Ago 2024, 10:49

Outro modo de pensar:

cis1º.cis2º.cis3º. ............. .cis43º.cis44º.cis45º

cis1º.cis44º = cis(1º + 44º) = cis45º
cis2º.cis43º = cis(2º + 43º) = cis45º
cis3º.cis44º = cis(3º + 42º) = cis45º
....................................................
cis22º.cis23º = cis(22º + 23º) = cis45º

E sobra cis45º

por wadekly Ter 20 Ago 2024, 15:46

Giovana Martins escreveu:
wadekly escreveu:
Giovana, imaginava que esta questão parecia sugerir uma P.G. (não sei se é o caso)... Você fez uma abordagem por Euler que, no meu entendimento, é mais evoluida... Irei estudar melhor a sua resposta e lhe retorno assim que eu estiver em condições... Grato pelo empenho... Desejo que tenha um excelente descanso...

Tudo em paz. Ao longo da semana irei tentar mexer mais na questão para ver se eu consigo uma saída mais acessível, pois de fato não é comum os vestibulares cobrarem a abordagem via Euler. Fiz assim, pois foi a primeira coisa que veio à mente.

Vamos lá... Giovana, embora, de forma bem geral, eu já tenha ouvido a respeito do número de Euler, não fazia idéia da existência da equação ou identidade de Euler, até você me resolver esta questão por esta fórmula... Tive que recorrer a alguns materiais ditáticos para saber um pouco sobre assunto e, assim, entender melhor a sua resposta... Pela ferramenta de Euler, acho que você relacionou um produto de números complexos com uma potência, dando à operação dos números complexos uma interpretação exponencial... Por um produto de potência de mesma base, se não me engano, acho que você chegou ao produto dos termos de uma Progressão Geométrica; seria isso mesmo...?! Concluo, que você encontrou o argumento de 315º e, então, a parte imaginária é negativa mesmo, já que o ângulo referido fica no quarto quadrante... Creio que houve um erro de digitação, sim... Então, só tenho a lhe agradecer, por a ter agregado aos meus conhecimentos trazendo algo de novo e que eu, em absoluto, desconhecia... Fico à disposição...!!

por Lipo_f Ter 20 Ago 2024, 15:53

Sei que a Giovana escreveu a solução com a melhor das intenções, mas sinceramente a sequência é simplesmente cis(1°), cis(2°) ...
Seguindo que P = cis(1°)cis(2°) ... cis(45°) = cis(1° + 2° + ... + 45°) = cis(1035°) = cis(-45°) = cos(-45°) + i sen(-45°) = cos(45°) - isen(45°) = √2/2 - i√2/2.

por wadekly Ter 20 Ago 2024, 16:06

Um dos pontos interressantes do Fórum, é a diversidade de abordagens dos participantes...Grato a você a ao Elcio, tambem, Lipo...

por **Giovana Martins** Qua 21 Ago 2024, 18:07

Lipo_f escreveu:
Sei que a Giovana escreveu a solução com a melhor das intenções, mas sinceramente a sequência é simplesmente cis(1°), cis(2°) ...
Seguindo que P = cis(1°)cis(2°) ... cis(45°) = cis(1° + 2° + ... + 45°) = cis(1035°) = cis(-45°) = cos(-45°) + i sen(-45°) = cos(45°) - isen(45°) = √2/2 - i√2/2.

Fique em paz, menino Smile

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Para mim quanto mais simples a resolução melhor. Não gosto de resolução muito rebuscadas.

Quando eu propus a minha resolução eu até tinha a sensação de que haveria uma saída mais simples, mas não a enxerguei naquele momento, mas propus uma saída mesmo assim.

Pelo menos a minha resolução indica como chegar em cis(1° + 2° + ... + 45°) a partir de cis(1°)cis(2°) ... cis(45°).