Complexo/trigonometria
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Complexo/trigonometria
Calcular o produto dos 45 primeiros termos da sequência (cos1°+i.sen1º;cos2°+i.sen2º; cos3°+i.sen3º; cos4º+i.sen4°)
Nem sei como começar esta questão... Alguma luz..?!
- Spoiler:
- V2/2+V2i/2. V-->significa raíz quadrada
Nem sei como começar esta questão... Alguma luz..?!
wadekly- Jedi
- Mensagens : 207
Data de inscrição : 29/03/2024
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Complexo/trigonometria
Por Euler: eθi = cis(θ).
Assim, podemos escrever f(θ) = eθie2θie3θi ·...· enθi = eθi(1 + 2 + 3 + ... + n).
A soma 1 + 2 + 3 + ... + n converge para [n(n + 1)]/2, logo, f(θ) = eθi{[n(n + 1)]/2}.
Daqui concluímos que:
f(θ) = cis(θ)cis(2θ)cis(3θ) · ... · cis(nθ) = cis{[n(n + 1)θ]/2}.
Para n = 45 e θ = 1°: f(1°) = cis{[45 · (45 + 1)· 1°]/2} = cis(1035°) = (√2/2) - (√2/2)i.
Peço que confira as continhas, mas acho que há erro no gabarito.
Última edição por Giovana Martins em Seg 19 Ago 2024, 21:29, editado 1 vez(es)
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Complexo/trigonometria
Fiz uns ajustes no meio das contas, mas ainda chego em gabarito diferente.
Peço que acompanhe a resolução atentamente, porque estou mega cansada. Pode ser que eu tenha deixado passar algo.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Complexo/trigonometria
Giovana, imaginava que esta questão parecia sugerir uma P.G. (não sei se é o caso)... Você fez uma abordagem por Euler que, no meu entendimento, é mais evoluida... Irei estudar melhor a sua resposta e lhe retorno assim que eu estiver em condições... Grato pelo empenho... Desejo que tenha um excelente descanso...
wadekly- Jedi
- Mensagens : 207
Data de inscrição : 29/03/2024
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Complexo/trigonometria
wadekly escreveu:Giovana, imaginava que esta questão parecia sugerir uma P.G. (não sei se é o caso)... Você fez uma abordagem por Euler que, no meu entendimento, é mais evoluida... Irei estudar melhor a sua resposta e lhe retorno assim que eu estiver em condições... Grato pelo empenho... Desejo que tenha um excelente descanso...
Tudo em paz. Ao longo da semana irei tentar mexer mais na questão para ver se eu consigo uma saída mais acessível, pois de fato não é comum os vestibulares cobrarem a abordagem via Euler. Fiz assim, pois foi a primeira coisa que veio à mente.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Complexo/trigonometria
Outro modo de pensar:
cis1º.cis2º.cis3º. ............. .cis43º.cis44º.cis45º
cis1º.cis44º = cis(1º + 44º) = cis45º
cis2º.cis43º = cis(2º + 43º) = cis45º
cis3º.cis44º = cis(3º + 42º) = cis45º
....................................................
cis22º.cis23º = cis(22º + 23º) = cis45º
E sobra cis45º
cis1º.cis2º.cis3º. ............. .cis43º.cis44º.cis45º
cis1º.cis44º = cis(1º + 44º) = cis45º
cis2º.cis43º = cis(2º + 43º) = cis45º
cis3º.cis44º = cis(3º + 42º) = cis45º
....................................................
cis22º.cis23º = cis(22º + 23º) = cis45º
E sobra cis45º
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 72766
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Complexo/trigonometria
Vamos lá... Giovana, embora, de forma bem geral, eu já tenha ouvido a respeito do número de Euler, não fazia idéia da existência da equação ou identidade de Euler, até você me resolver esta questão por esta fórmula... Tive que recorrer a alguns materiais ditáticos para saber um pouco sobre assunto e, assim, entender melhor a sua resposta... Pela ferramenta de Euler, acho que você relacionou um produto de números complexos com uma potência, dando à operação dos números complexos uma interpretação exponencial... Por um produto de potência de mesma base, se não me engano, acho que você chegou ao produto dos termos de uma Progressão Geométrica; seria isso mesmo...?! Concluo, que você encontrou o argumento de 315º e, então, a parte imaginária é negativa mesmo, já que o ângulo referido fica no quarto quadrante... Creio que houve um erro de digitação, sim... Então, só tenho a lhe agradecer, por a ter agregado aos meus conhecimentos trazendo algo de novo e que eu, em absoluto, desconhecia... Fico à disposição...!!Giovana Martins escreveu:wadekly escreveu:Giovana, imaginava que esta questão parecia sugerir uma P.G. (não sei se é o caso)... Você fez uma abordagem por Euler que, no meu entendimento, é mais evoluida... Irei estudar melhor a sua resposta e lhe retorno assim que eu estiver em condições... Grato pelo empenho... Desejo que tenha um excelente descanso...Tudo em paz. Ao longo da semana irei tentar mexer mais na questão para ver se eu consigo uma saída mais acessível, pois de fato não é comum os vestibulares cobrarem a abordagem via Euler. Fiz assim, pois foi a primeira coisa que veio à mente.
wadekly- Jedi
- Mensagens : 207
Data de inscrição : 29/03/2024
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Complexo/trigonometria
Sei que a Giovana escreveu a solução com a melhor das intenções, mas sinceramente a sequência é simplesmente cis(1°), cis(2°) ...
Seguindo que P = cis(1°)cis(2°) ... cis(45°) = cis(1° + 2° + ... + 45°) = cis(1035°) = cis(-45°) = cos(-45°) + i sen(-45°) = cos(45°) - isen(45°) = √2/2 - i√2/2.
Seguindo que P = cis(1°)cis(2°) ... cis(45°) = cis(1° + 2° + ... + 45°) = cis(1035°) = cis(-45°) = cos(-45°) + i sen(-45°) = cos(45°) - isen(45°) = √2/2 - i√2/2.
Lipo_f- Jedi
- Mensagens : 356
Data de inscrição : 16/05/2024
Idade : 19
Localização : Belém, Pará
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Complexo/trigonometria
Um dos pontos interressantes do Fórum, é a diversidade de abordagens dos participantes...Grato a você a ao Elcio, tambem, Lipo...
wadekly- Jedi
- Mensagens : 207
Data de inscrição : 29/03/2024
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Re: Complexo/trigonometria
Lipo_f escreveu:Sei que a Giovana escreveu a solução com a melhor das intenções, mas sinceramente a sequência é simplesmente cis(1°), cis(2°) ...Seguindo que P = cis(1°)cis(2°) ... cis(45°) = cis(1° + 2° + ... + 45°) = cis(1035°) = cis(-45°) = cos(-45°) + i sen(-45°) = cos(45°) - isen(45°) = √2/2 - i√2/2.
Fique em paz, menino
.
![Smile](https://2img.net/i/fa/i/smiles/icon_smile.gif)
Para mim quanto mais simples a resolução melhor. Não gosto de resolução muito rebuscadas.
Quando eu propus a minha resolução eu até tinha a sensação de que haveria uma saída mais simples, mas não a enxerguei naquele momento, mas propus uma saída mesmo assim.
Pelo menos a minha resolução indica como chegar em cis(1° + 2° + ... + 45°) a partir de cis(1°)cis(2°) ... cis(45°).
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
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