potenciacao de um numero complexo com trigonometria

por **leozinho** Qui 01 Dez 2011, 10:02

Considere o número complexo z = cos (pi/6)
+ i sen (pi/6). O valor de z³ + z⁶
+ z¹² é:

por **Agente Esteves** Qui 01 Dez 2011, 10:15

x = cos (pi/6) + i sen (pi/6)

Para potencializar um número, a fórmula é essa:

x^n = módulo^n * (cos (n * ângulo) + i sen (n * ângulo))

Nesse número complexo, o módulo é um. Então qualquer potência de um é igual a um. Nesse caso, só teremos que multiplicar os ângulos.

z³ = cos (3pi/6) + i sen (3pi/6) = cos (pi/2) + i sen (pi/2) = i

z^6 = cos (6pi/6) + i sen (6pi/6) = cos pi + i sen pi = -1

z^12 = cos (12pi/6) + i sen (12pi/6) = cos (2pi) + i sen (2pi) = 1

Logo... z³ + z^6 + z^12 = i - 1 + 1 = i

Espero ter ajudado. ^_^