Questão álgebra

Sejam x, y, z números inteiros tais que x + y + z = 0. Sobre o número x³+y³+z³ são feitas as seguintes afirmações: 
I - É necessariamente múltiplo de 2 
II - É necessariamente múltiplo de 3 
III - É necessariamente múltiplo de 5 
Quais são verdadeiras? 

Gabarito:

Um método interessante é você pegar um polinômio P(k) de modo que x,y e z sejam raízes, logo, você vai ter: 

P(k) = k³ - pk² + qk - f 

Relações de girard :

p = x + y + z = 0 
q = xy + yz + zx 
f = xyz

Logo, P(k) será: 

P(k) = k³ + qk - f

Substitua k por x, y e z no polinômio: 

x³ + xq - f = 0
y³ + yq - f = 0
z³ + zq - f = 0

Somando as três relações, temos: 

x³ + y³ + z³ +(x + y + z)q - 3f = 0

Portanto: x³ + y³ + z³ = 3xyz

De cara, vemos que o termo pedido depende de 3. Agora voltando ao x+y+z= 0 perceba se x e y forem dois números ímpares, z terá que ser um número par, e esse caso vai independer do número x, y ou z, ou seja, o produto xyz é necessariamente múltiplo de 2. E quanto ao III item, xyz pode ser múltiplo de 5 mas não é necessariamente múltiplo de 5, logo invalidando o item.

Obrigado pela resposta, queria justamente outro método de resolução. No entanto, como ainda não cheguei a estudar polinômios vou favoritar a página e depois a reverei.

Um outro modo, sem saber polinômios, é conhecer a fatoração clássica:
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
Note que se a+b+c = 0, então:
E(a,b,c) = a³ + b³ + c³ = 3abc.

E é necessariamente múltiplo de 2, pois analisando abc:
a + b + c = 0
Se um dos termos for 0, abc = 0, que é divisível por 2.
Se nenhum deles for 0, então:
-todos são ímpares ---> impossível da soma dar 0, pois I + I + I = ímpar e 0 é par. Logo, pelo menos uma das variáveis tem fator 2 e E(a,b,c) é múltiplo de 2.
I e II são corretas.

Agora, ser múltiplo de 5 dá pra notar que não tem nada a ver.