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por icarojcsantos Sex 09 Fev 2024, 20:56

Se [latex]ab+bc+ac=0[/latex], determine o valor de [latex]\frac{(a+b+c)^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4} }{abc(a+b+c)}[/latex] :

A)-4

B) 2

C) 4
D) 6

E) 8

Gabarito: A

por **Elcioschin** Sex 09 Fev 2024, 21:20

ab + a.c + bc = 0 ---> I

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2.(a.b + a.c + b.c) ---> II

I em II ---> (a + b + c)² = a² + b² + c² ---> III

(a + b + c)⁴ = [(a + b + c)²]² ---> IV

III em IV ---> (a + b + c)⁴ = (a² + b² + c²)²

Faça similar ao que eu fiz em II e calcule (a² + b² + c²)²

Depois complete

por icarojcsantos Sáb 10 Fev 2024, 15:41

Elcioschin escreveu:ab + a.c + bc = 0 ---> I

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2.(a.b + a.c + b.c) ---> II

I em II ---> (a + b + c)² = a² + b² + c² ---> III

(a + b + c)⁴ = [(a + b + c)²]² ---> IV

III em IV ---> (a + b + c)⁴ = (a² + b² + c²)²

Faça similar ao que eu fiz em II e calcule (a² + b² + c²)²

Depois complete

Obrigado ! Very Happy

por **Elcioschin** Sáb 10 Fev 2024, 19:11

Se vc completou, por favor, poste o passo-a-passo da sua solução para que os demais usuários do fórum aprendem com vc.

por icarojcsantos Sáb 10 Fev 2024, 20:53

Não consegui resolver ela toda, por isso não postei. Adoraria demonstrar minha linha de raciocínio, porém com minhas contas encontrei "0" no numerador ( o que não condiz com as alternativas, já que só têm inteiros).

por castelo_hsi Sáb 10 Fev 2024, 21:13

I) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c²

II) (a + b + c)⁴ = ([a + b + c]²)² = (a² + b² + c²)² = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + a²c² + b²c²)

Agora, note que o numerador será igual a 2(a²b² + a²c² + b²c²)

Mas, agora veja: ab + bc + ac = 0 ---> a²b² + b²c² + a²c² + 2(ab²c + a²bc + abc²) = 0 ---> a²b² + b²c² + a²c² + 2(abc)(a + b +c) = 0

Logo: a²b² + b²c² + a²c² = - 2(abc)(a + b +c) ---> (abc)(a + b +c) = - (a²b² + b²c² + a²c²)/2 (acabamos de encontrar o denominador)

Por fim, temos:

[2(a²b² + a²c² + b²c²)]/[-(a²b² + b²c² + a²c²)/2] = -4