escola naval

Olá lana_bra101;

Basicamente pra resolver essa questão recorre-se à Fórmula de Legendre ao qual fornece uma expressão para o expoente da maior potência de um p primo que divide o fatorial n !.



Podemos ainda fazer:



Primeiramente perceba que existem muito mais fatores que dividem por 3 do que os fatores que dividem por 7, logo, contabilizamos somente para p = 7.

Nosso fatorial a ser trabalhado vai ser 2020!, temos, n = 2020. Mera aplicação da fórmula:



Vamos aplicar até 2020 ser divisível por 7 elevado ao expoente i, ou seja, nosso limite é para i = 3, pois: 0 < 2020/7⁴ < 1 não nos interessa por buscarmos soluções inteiras.

 

Descartando a parte fracionária e somando chegaremos ao maior valor inteiro de n:



Espero ter ajudado!

Sem usar fórmula de Legendre

Perceba que 21 = 3 × 7
Também perceba que até o 2020 há menos números que podemos dividir por 7 do que numeros que podemos dividir por 3. Com isso podemos dizer que o 7 é nosso "limitante"

Número de divisores de 7: 2020 / 7 = 288,5
Número de divisores de 7²: 2000/(7×7) = 41,2
Número de divisores de 7³: 2000(7×7×7) = 5,8
Perceba que 7⁴, 7⁵, ... não entram na divisão pois 7⁴ > 2000

Nas divisões que fizemos só queremos o valor inteiro e arredondado para baixo (na matemática chamamos isso de função piso) pois é impossível que a quantidade de divisores de um número seja fracionário.
Somando os valores inteiros: 288 + 41 + 5 = 334